6.2.1 向量的加法运算+6.2.2 向量的减法运算
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.向量加法的定义：求两个向量 的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量，规定 .
2.向量加法的法则
三角形法则 已知非零向量，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作 ，即 .
平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量 .
3.向量加法的运算律：交换律： ；结合律： .
4.向量形式的三角不等式：一般地，有，当且仅当方向 时等号成立.
5.相反向量的定义：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的 向量，记作 .
性质：①零向量的相反向量仍是 .
②和互为相反向量，于是 .
③若互为相反向量，则，， .
6.向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的 ，即 .求两个向量差的运算叫做向量的减法.
7.向量减法的几何意义：已知向量，在平面内任取一点，作，，则 ，如图所示.
即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
思维拓展1.两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
2.向量加减法运算的基本方法有哪些？
3.求解向量加法实际应用题的步骤？
基础练习1.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则( )
A. B. C. D.
2.如图，平行四边形中，P是边上的一点，则( )
A. B.
C. D.
3.化简，所得的结果是( )
A. B. C. D.
4.等于( )
A. B. C. D.
5.已知O是平面上一点，，，，，且四边形为平行四边形，则( )
A. B.
C. D.
【答案及解析】
一、知识填空
1.和
2.
3.
4.相同
5.相反 零向量
6.差
7.
二、思维拓展
1.不是.因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模相加，两个向量相加应满足向量加法的三角形法则或平行四边形法则.
2.（1）利用相反向量统一成加法（相当于向量求和）；
（2）选用减法公式（正用或逆用均可）；
（3）运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向
量，使问题特化为有共同起点的向量问题.
3.（1）表示：用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量；
（2）运算：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的运算，并利用直角三角形等知识解决问题；
（3）作答：根据题意作答.
三、基础练习
1.答案：A
解析：.故选：A
2.答案：B
解析：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.故选：B
3.答案：A
解析：，故选：A
4.答案：D
解析：,故选:D.
5.答案：B
解析：易知，，而在平行四边形中有，
，即，也即.故选：B.6.2.3 向量的数乘运算
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的 ，记作 ，它的长度与方向规定如下：
① ；②当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 .
2.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有：
① ；② ；③ .
特别地，有 ； .
3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的 ，向量线性运算的结果仍是 .对于任意向量，以及任意实数，恒有 .
4.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 .
思维拓展1.向量数乘运算的方法有哪些？
2.用已知向量表示相关未知向量的基本思路是什么？
3.向量共线定理的应用有哪些？
基础练习1.若在三角形中，，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，满足条件，，若，则( )
A.8 B.4 C.2 D.
3.如图所示，内有一点G满足，过点G作一直线分别交，于点D，E.若，，则( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.，是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为( )
A.3 B. C. D.2
5.已知点O是的重心，过点O的直线与边，分别交于M，N两点，D为边的中点.若，则( )
A. B. C.2 D.
【答案及解析】
一、知识填空
1.数乘 相同 相反
2.
3.线性运算 向量
4.
二、思维拓展
1.（1）向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
（2）向量也可以通过列方程（组）来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程（组）的方法求解.在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
2.用已知向量表示相关未知向量时，要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的两个向量或首尾相接的两个向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为已知向量.
3.（1）判断向量共线：对于非零向量，若存在实数，使，则与共线.
（2）证明三点共线：若存在实数，使，则三点共线.
（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.
三、基础练习
1.答案：A
解析：如图，
因为，，所以，，所以，故选：A
2.答案：A
解析：因为，，，所以，
即，又，所以，，故.故选：A.
3.答案：B
解析：因为，所以G为的重心，所以，所以且，所以，故选：B.
4.答案：A
解析：由，，得，由A，B，D三点共线，得，又，，不共线，则，所以.故选：A.
5.答案：A
解析：如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，所以，即，因为M，O，N三点共线，可得，所以.故选：A.6.2.4 向量的数量积
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.向量的夹角：已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的 .记作 .
当时，向量 ；当时，向量垂直，记作 ；当 时，向量反向.
2.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的 （或内积），记作 ，即 .
3.投影向量的定义：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量 ，叫做向量在向量上的 .
4.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则
（1） .
（2） .
（3）当与同向时， ；当与反向时， .特别地，或.
（4）由可得， .
（5）
5.向量数量积的运算律：
交换律： ；
数乘结合律： ；
分配律： .
思维拓展1.求向量的数量积的关键点是什么？
2.求向量的模的常见思路及方法？
3.求向量夹角的方法有哪些？
基础练习1.已知单位向量和的夹角为，且，则( )
A.1 B. C.2 D.
2.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量、的夹角为，，，则( )
A.4 B. C.5 D.
4.在中，已知，，AB，BC边上的中线CE，AF交于点D，则( )
A. B. C. D.
5.已知单位向量与的夹角为，若，则( )
A. B. C. D.1
【答案及解析】
一、知识填空
1.夹角 同向
2.数量积
3.投影 投影向量
4.
5.
二、思维拓展
1.求向量的数量积时，需掌握相关向量的模和夹角两个关键点.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
2.（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方.
（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
（3）一些常见的等式应熟记，如，等.
3.（1）求出，代入公式求解.
（2）用同一个量表示，代入公式求解.
（3）借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角.注意向量夹角的范围是.
三、基础练习
1.答案：D
解析：，即.故选：D.
2.答案：C
解析：由得，设，，又，所以，由于，所以与的夹角为.故选：C.
3.答案：C
解析：由向量、的夹角为，，，得出.则.故选：C
4.答案：A
解析：因为BC，AB边上的两条中线CE，AF交于点D，所以，，又，，，则，，，则，所以．故答案为：A
5.答案：A
解析：由，则，解得，则.故选：A.6.1 平面向量的概念
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.向量的定义：既有大小又有 的量叫做向量.
2.向量的表示：向量的大小称为向量的 （或称模），记作 .
长度为0的向量叫做 ，记作 .
长度等于 个单位长度的向量，叫做单位向量.
向量也可以用字母，…表示.
3.共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做 向量，平行向量也叫做共线向量.向量与平行，记作 .
零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有 .
4.相等向量：长度相等且方向 的向量叫做相等向量.向量与相等，记作 .
思维拓展1.数量、向量、矢量有什么区别？
2.有向线段与向量的区别与联系有哪些？
3.利用向量关系证明或判断线段相等或平行的方法有哪些？
基础练习
1.设O是正方形ABCD的中心，向量，，，是( )
A.平行向量 B.有相同终点的向量
C.相等向量 D.模相等的向量
2.下列说法正确的是( )
①有向线段三要素是始点、方向、长度；
②向量两要素是大小和方向；
③同向且等长的有向线段表示同一向量；
④在平行四边形ABCD中，.
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
3.下列物理量：
①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.
其中，不能称为向量的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A.零向量没有方向
B.两个单位向量是相等向量
C.共线的两个向量方向相同
D.若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
5.设点O是正三角形的中心，则向量，，是( )
A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量
【答案及解析】
一、知识填空
1.方向
2.长度 零向量 0 1
3.平行
4.相同
二、思维拓展
1.数量是一个代数量，只有大小没有方向，可用正数、负数、零表示，可以比
较大小；向量既有大小又有方向，不能比较大小；矢量同时具备大小和方向两个属性，又具备其他属性（如“力”就是由大小、方向、作用点共同决定的）.
2.（1）区别：向量只有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、大小和方向三个要素，在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的.
（2）联系：向量可用有向线段表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数条有向线段.
3.（1）证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度（模）相等.
（2）证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.
三、基础练习
1.答案：D
解析：因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线的一半，
故向量，，，是模相等的向量，故选D．
2.答案：D
解析：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段，即有向线段三要素是始点、方向、长度，故①正确；
②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，故②正确；
③同向且等长的有向线段表示的向量大小相等，方向相同，故为同一向量，故③正确；
④四边形ABCD是平行四边形，，且，故，故④正确.
故选：D.
3.答案：C
解析：根据物理量的定义、性质知：质量、路程是标量，位移、重力、加速度为矢量即向量，
③④⑤是向量，①②是标量.故选：C.
4.答案：D
解析：向量既有大小又有方向，A不正确；
两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确；
共线的两个向量方向相同或相反，C不正确；
若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确；故选：D
5.答案：B
解析：O是正的中心，向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，O到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选B.
