10.1.3 全等三角形判定与性质的综合应用（含答案）

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第十章 三角形的性质
1 全等三角形
第3课时 全等三角形判定与性质的综合应用
能力提升
提升点：全等三角形判定与性质的综合应用
1.如图,AB∥CD,BE,CF 分别是∠ABC,∠BCD 的平分线,O 是BC 的中点,则线段BE 与线段CF 有怎样的关系 请说明理由.
2.如图,在△ABC 中,D 是BC边上的一点，E 是AD 的中点，过点 A 作BC的平行线交CE 的延长线于点 F,且AF=BD.求证：D是BC的中点.
3.已知:如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AE∥BF,AE=BF.若 ,则AB=CD.
请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件(填序号)，使结论成立，并说明理由.
4.如图,点C在线段AB 上,AD∥EB,AC=BE,AD=BC,F 是DE 的中点.求证:CF⊥DE.
5.如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A，D，C，F在同一条直线上，且AF=DC,BC=EF,BC∥EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)若∠A =20°,∠AFE=100°,求∠E 的度数.
6.如图,在等边△ABC 中,D,E 分别是 BC,AC 上的点,且∠AEB =∠ADC. AD与BE 交于点 N,BM⊥AD 于点M.
(1)求证:△ABE≌△CAD.
(2)若MN=6,求 BN 的长.
7.[新考向]【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图①，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则△ABD≌△ACE.
【材料理解】(1)在图①中证明小明的发现.
【深入探究】(2)如图②,△ABC 和△ADE 是等边三角形，连接 BD，EC 交于点O，连接AO,求证:
①BD=CE.
②∠BOC=60°.
参考答案
1.解:BE∥CF,BE=CF.理由如下:
∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD.
∵BE,CF分别是∠ABC,∠BCD的平分线,∠FCO,∴BE∥CF.
∵∠EBO=∠FCO,BO=CO,∠EOB=∠FOC,∴△BEO≌△CFO(ASA),∴BE=CF.
2.证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.
∵E为AD的中点,∴AE=DE.
在△AFE 和△DCE 中,∵∠AFE=∠DCE,∠FEA=∠CED,AE=DE,
∴△AFE≌△DCE(AAS),∴AF=DC.
又∵AF=BD,∴BD=DC,即 D 是BC 的中点.
3.解:① 理由:∵AE∥BF,∴∠A=∠FBD.
∵CE∥DF,∴∠ACE=∠D.
在△AEC和△BFD中,∵,∴△AEC≌△BFD(AAS),
∴AC=BD,∴AB=CD.
③理由:∵AE∥BF,∴∠A=∠FBD.
在△AEC 和△BFD中,∵
∴AC=BD,∴AB=CD.(任选其一)
4.证明:∵AD∥EB,∴∠A=∠CBE.
在△DAC 和△CBE中， EC.
∵F 是DE 的中点,∴DF=EF.
在△CDF 和△CEF中， ∠CFE.
∵∠CFD+∠CFE=180°,∴CF⊥DE.
5.(1)证明:∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF.
∵BC∥EF,∴∠ACB=∠DFE.
在△ABC 和△DEF中，∴
(2)解:∵∠D=∠A=20°,∠AFE=100°,∴∠EFD=180°
6.(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ACB=60°.
在△ABE和△CAD 中,
(2) 解: ∵△ABE ≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD,
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°.
∵BM⊥AD,∴∠AMB=90°,∴∠NBM=30°,∴BN=2MN=12.
7.证明:(1)∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,∵ (SAS).
(2)①∵△ABC 和△ADE 是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
②∵△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC.
记AD与CE的交点为G.
-∠AEC-∠AGE,∴∠DOE=∠DAE=60°,
∴∠BOC=∠DOE=60°.
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