10.2.1 等腰三角形的性质与判定（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质与判定
基础闯关
知识点一：等腰三角形边角的分类讨论
类型1：应用分类讨论思想确定等腰三角形的边长
1.若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.2或4
2.若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为( )
A.8 B.10 C.8或10 D.6或12
类型2：应用分类讨论思想确定等腰三角形的内角
3.[一题多辨](1)若等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是 .
(2)若等腰三角形有一个角是80°，则另两个角分别是 .
(3)若等腰三角形的一个外角是 60°，则它的顶角的度数是 .
知识点二：等边对等角
4.如图,在△ABC 中,AC=BC,点D和E分别在AB 和AC上,且AD=AE,连接DE,过点 A 的直线GH 与 DE 平行.若∠C=40°,则∠GAD 的度数为( )
A.40° B.45° C.55° D.70°
第4题图 第5题图
5.如图,在△ABC 中,AB=AC.以点C 为圆心，以CB 的长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D,连接BD.若∠A=32°,则∠CDB 的大小为 度.
6.如图,AB 与CD 相交于点E,若△ABC≌△ADE,∠BAC=28°,则∠ACD的度数是
第6题图 第7题图
7.如图,△ABC≌△DBE,∠ABD=40°,若AD∥BC,则∠ABE 的度数为 .
知识点三：等腰三角形“三线合一”性质的应用
8.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于点E，则以下两个角的关系中不成立的是( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠2
C.∠4=∠5 D.∠4=∠C
9.如图,在△ABC 中,点 D 在BC边上,BD=AD=AC,E 为CD 的中点.若∠CAE=16°,则∠B 为 度.
第9题图 第10题图
10.如图,△ABE≌△ACF,BE 与CF 交于点D,连接 BC.若∠A=40°,∠BDC=60°,则∠ABE 的度数为 .
知识点四：等腰三角形的判定
11.下列说法错误的是( )
A.有两个角相等的三角形是等腰三角形
B.有一个角是45°的直角三角形是等腰三角形
C.有一个角是60°的三角形一定是等腰三角形
D.有一个角是40°，另一个角是70°的三角形是等腰三角形
12.如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O，过点O 作DE∥BC，分别交AB,AC 于点D,E.若AB=5,AC=4,则△ADE 的周长是 .
第12题图 第13题图
13.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边AC,AB上,∠ABD=∠ACE,下列条件能判定△ABC 是等腰三角形的是 .(填序号)
①AE=AD ②BD=CE ③∠ECB=∠DBC ④∠BEC=∠CDB
能力提升
14.[方程思想]如图甲所示三角形纸片 ABC中，AB=AC，将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点C落到AB 边上的点E 处，折痕为 BD(如图乙).再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF(如图丙),则∠ABC 的大小为 °.
15.如图,在△PAB 中,PA=PB,M,N,K 分别是 PA,PB,AB 上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=44°,则∠P 的度数为 .
16.如图,线段AB 上有两点 C,D,AC=BD,∠A=∠B,AE=BF,连接 DE 并延长至点M,连接CF 并延长至点N,DE,CF 交于点 P,MN∥AB.求证:△PMN 是等腰三角形.
17.[推理能力]如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,E 是BC 上一点,BE=CD,EF∥AD 交AB 于点F,交CA 的延长线于点P,CH∥AB 交AD 的延长线于点 H.
(1)求证:△APF 是等腰三角形.
(2)求证:AB=PC.
参考答案
1. C
2. B [解析]∵ 当腰长为2，底边长为4时，则三边为2，2，4，不能组成三角形，不符合题意；当腰长为4，底边长为2时，则三边为4，4，2，能组成三角形，符合题意.∴三角形的周长为4+4+2=10.
3.(1)45°,45° (2)80°,20°或50°,50° (3)120°
4. C [解析]∵AC=CB,∠C=40°,∴∠BAC=∠B= ×(180°-40°)=70°.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED
∥∠ADE=55°.
5.37 6.76° 7.30° 8. C 9.37 10.10° 11. C 12.9
13.①②③
14.72 [解析]设∠A=x,则∠A=∠EDA=x,∠C=∠DEB=∠A+∠EDA=2x.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴5x=180°,∴x=36°,∴∠ABC=72°.15.92° [解析]∵PA=PB,∴∠A=∠B.
在△AMK 和△BKN·中, ，∴∠AMK=∠BKN.
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK,∴∠A=∠MKN=44°,
∴∠P=180°-∠A-∠B=92°.
16.证明:∵AC=BD,∴AC+CD=BD+CD,∴AD=BC.
在△ADE和△BCF中,∵,∴△ADE≌△BCF(SAS), ∴∠ADE =∠BCF.
∵ MN ∥AB,∴∠ADE=∠M,∠BCF=∠N,∴∠M=∠N,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形.
17.证明:(1)如图,∵EF∥AD,∴∠1=∠4,∠2=∠P.
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠4=∠P,∴AF=AP,即△APF 是等腰三角形.
(2)∵CH∥AB,∴∠5=∠B,∠H=∠1.
∵EF∥AD,∴∠1=∠3,∴∠H=∠3.
在△BEF 和△CDH 中, △CDH(AAS),∴BF=CH.
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠H,∴AC=CH,∴AC=BF.
∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,AF=AP,∴AB=PC.
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