10.2.2 等腰三角形性质与判定的综合应用（含解析）

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第十章 三角形的有关证明
2 等腰三角形
第2课时 等腰三角形性质与判定的综合应用
基础闯关
知识点一：等腰三角形中的特殊线段
1.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,垂足为点 D,AD=4.若点 P 在边AC 上移动,则 BP 的最小值是 .
第1题图 第2题图
2.如图,△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点D,DE⊥AB 于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF= cm.
知识点二：等腰三角形性质和判定的综合应用
3.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A =40°,P 是△ABC 内一点,且∠1=∠2,则∠BPC 等于( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
第3题图 第4题图
4.如图,在△ABC中,AB=AC,点 E 在CA 的延长线上,EP⊥BC 于点 P,交 AB 于点 F.若AF=2,BF=3,则CE 的长度为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.如图,AB∥DE,△ABC 是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( )
A.16° B.28° C.44° D.45°
6.如图,AB=AC,FD⊥BC 于点D,DE⊥AB于点 E. 若∠AFD = 145°, 则 ∠EDF = 度.
第6题图 第7题图
7.[转化思想]如图,在△ABC 中,BO,CO分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,过点O 作OE∥AB,OF∥AC,分别交边 BC 于点E,F.如果BC=10,那么△OEF 的周长等于 .
能力提升
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【数学思想在等腰三角形中的应用】
思想1：分类讨论思想
8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 .
9.在△ABC 中,AB=AC,中线 BD 将这个三角形的周长分为15 和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 .
思想2：方程思想
10.如图,△ABC 中,∠ABC=63°,点 D,E 分别是△ABC的边BC,AC 上的点,且AB=AD=DE=EC,则∠C 的度数是( )
A.21° B.19° C.18° D.17°
第10题图 第11题图
11.如图,△ABC中,AB=BD,点 D,E 分别是AC,BD 上的点,且∠ABD=∠DCE.若∠BEC=105°,则∠A 的度数为 .
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【等腰三角形中的结论判断】
12.如图,在△ABC中,AB=AC,BD为AC边上的高,BE平分∠ABD,点F在BD上,连接EF并延长,交BC于点G.若BG=EG,∠A=2∠DEF,有下列结论:①∠DEF=∠CBD;②∠ABE+∠CBD=45°;③EG⊥BC;④BE=BC;⑤BF=CE.其中一定成立的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
第12题图 第13题图
13.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以 AC为边作△ACD,满足AD=AC,点 E 为BC上一点，连接AE， 连接DE.下列结论中正确的是 .(填序号)①AC⊥DE;②∠ADE =∠ACB;③若CD∥AB,则AE⊥AD;④DE=CE+2BE.
14.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过点B 作AD 的垂线,垂足为点 D,DE∥AC,交AB 于点E,CD∥AB.
(1)求证:△BDE 是等腰三角形.
(2)求证:CD=BE.
15.[推理能力]如图，△ABC 是等腰三角形，CA=CB,∠ACB 是锐角,∠ACB=α.点 M在边AC上,点N 在边BC 上(点M,N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM,射线AG∥BC,延长 BM 交射线AG于点D,点 E 在 NA 的延长线上,且AE=DE.
(1)△BCM 与△ACN 全等吗 请说明理由.
(2)请求出∠BDE 的度数.(用含α的代数式表示)
参考答案
1. 2.6 3. A 4. C 5. C 6.55 7.10
8.69°或21° [解析]分两种情况讨论:
(1)若∠A＜90°,如图①所示.∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°.
∵∠ABD=48°,∴∠A=90°-48°=42°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C
(2)若∠A＞90°,如图②所示.同①可得
21°.
综上所述，等腰三角形底角的度数为69°或21°.
9.7或11 [解析]如图所示,
当 时,AC=10,∴底边长
当AB时,AC=8,∴底边长=15-DC
综上所述，底边长等于7或11.
10. A [解析]设∠C=x.∵DE=EC,∴∠C=∠EDC=x,∴∠AED=∠C+∠EDC=2x.
∵AD=DE,∴∠AED=∠DAE=2x,∴∠ADB=∠DAE+∠C=3x.
∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABC=3x,∴3x=63°,∴x=21°,故∠C=21°.
11.85° [解析]∵BA=BD,∴∠A=∠BDA.
设∠A=∠BDA=x,∠ABD=∠ECD=y,则解得x=85°,
∴∠A 的度数为85°.
12. B [解析]作AH⊥BC 于点H.①②③⑤一定成立.
13. ②③④
14.证明:(1)如图,∵AD 平分∠BAC,CD∥AB,DE∥AC,∴∠1=∠2=∠3=∠4.
∵AD⊥BD,∴∠2+∠ABD=90°,∠5+∠4 =90°,∴∠5=∠ABD,
∴DE = BE,∴△BDE 是等腰三角形.
(2)由(1)知,∠1=∠2,∠3=∠4.∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(ASA),∴CD=DE.
∵DE=BE,∴CD=BE.
15.解:(1)△BCM≌△ACN.理由:
∵CA=CB,BN=AM,∴CB-BN=CA-AM,∴CN=CM.
在△BCM 和△ACN中,
(2)∵△BCM≌△ACN,∴∠CBM=∠CAN.
∵AE=DE,∴∠EAD=∠EDA.
∵AG∥BC,∴∠GAC=∠ACB=α,∠ADB=∠DBC,∴∠ADB=∠CAN,
∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD=180°-∠GAC=180°-α,
∴∠BDE=∠ADB+∠EDA=180°-α.
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