10.2.4 判定三角形的形状、反证法（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
2 等腰三角形
第4课时 判定三角形的形状、反证法
基础闯关
知识点一：反证法
1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时,应假设( )
A. a 不垂直于c B. a,b都不垂直于c C. a⊥b D. a 与b相交
2.用反证法证明“若|a|＜2,则a＜4”时,应假设
3.用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设 .
4.如图,直线在同一平面内,且∥,与相交于点 P.求证:与相交.
知识点二：等腰(边)三角形的判定及其应用
5.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE交CD于点D,交AC于点E,若AC=5,BC=3,则BD 的长为( )
A.2.5 B.1.5 C.2 D.1
第5题图 第6题图
6.[一题多解]如图,AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°.若EF=2,则DF=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当长为半径画一条弧交两直角边于A，B两点.若再以A 为圆心，以OA 的长为半径画弧，与弧AB 交于点C,则∠BOC 等于 .
第7题图 第8题图
8.如图,CD 平分∠ACB,DE∥BC,AE=2cm,DE=3cm,则AC的长为 cm.
9.[推理能力]如图,在△ABC中,AB=AC,D,E 是△ABC 内的两点,AD 平分∠BAC,∠EBC =∠E =60°. 若 BE =6cm,DE =2cm,则BC的长为 cm.
能力提升
10.[一题多辨](1)如图，在等边三角形ABC 的三边上，分别取点 D，E，F,使 AD=BE=CF,则△DEF 的形状是 .
(2)如图,△ABC 为等边三角形,且∠1=∠2=∠3.
①求∠BEC 的度数.
②△DEF 是等边三角形吗 为什么
11.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,D 为底边 BC 延长线上的任意一点，过点 D 作 DE∥AB，与AC 的延长线交于点E.
(1)△CDE 的形状是 .
(2)若在 AC 上截取AF=CE,连接 BF,DF,判断 BF,DF 的数量关系,并给出证明.
12.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,DE=FD,BE=CD,BD=CF.
(1)△ABC 是等腰三角形吗 请说明理由.
(2) 连接 EF,当∠A = 度时,△DEF 是等边三角形.
13.[推理能力]如图,在△ABC中,已知∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F,过点F作FD∥BC,FD分别交AB,AC于点D,E.
(1)求证:DE=BD-CE.
(2)若∠ACB=60°,试判断△ECF 的形状,并说明理由.
参考答案
1. D 2. a≥4 3.两个锐角都大于45°
4.证明:假设与不相交,那么∥.因为∥,所以过直线外一点P有两条直线与平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，所以假设不成立，所以与相交.
5. D
6. D [解析]方法1:如图,过点E作EG⊥BC,交BC于点G.
∵AB=AC,∠A =60°,∴△ABC 是等边三角形,∴∠ACB = 60°.
∵EC=CD,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30°,∴∠AEF=30°,∴∠AFE=90°,即EF⊥AB.
∵△ABC 是等边三角形,AE=CE,∴BE 平分∠ABC,∴EG=EF=2.
在Rt△DEG中,DE=2EG=4,∴DF=EF+DE=2+4=6.
方法2:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°.
∵EC=CI
是等边三角形,AE=CE,∴BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=30°=∠CDE,
∴BE=DE,∠BFD=90°,∴BE=2EF=4=DE,∴DF=DE+EF=6.
7.30° 8.5
9.8 [解析]如图,延长ED交BC于点M,延长AD交BC于点N.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN.
∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM 为等边三角形,∴EM=BE.
∵BE=6cm,DE=2cm,∴DM=4cm.
∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°.
∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=30°,∴NM=2cm,∴BN=4cm,∴BC=2BN=8cm.
10.(1)等边三角形
(2)解:①∵△ABC 为等边三角形,∴∠ACB=∠3+∠BCE=60°.
∵∠2=∠3,∴∠BEF=∠2+∠BCE=60°,∴∠BEC=180°-∠BEF=120°.
②△DEF 是等边三角形.理由如下:
由①知∠BEF=60°,即∠DEF=60°.
同理,∠EFD=∠FDE=60°,∴△DEF是等边三角形.
11.解:(1)等腰三角形
(2)BF=DF.证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠E.
∵AF=CE,∴AF=DE,AF+CF=CE+CF,即 EF = AC = AB.
在 △AFB 与△EDF 中,∵∴△AFB≌△EDF(SSS)，∴BF＝DF.
12.解:(1)△ABC 是等腰三角形.
理由:在△BDE 和△CFD中，,∴△BDE≌△CFD（SSS），∴∠B＝∠C，
∴AB=AC,即△ABC 是等腰三角形.
(2)60
13.(1)证明:∵∠ABC 的平分线与外角∠ACG的平分线交于点F,
∴∠DBF=∠CBF,∠ECF=∠GCF.
∵FD∥BC,∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠GCF,
∴∠DBF=∠DFB,∠ECF=∠EFC,∴BD = FD,EC = EF.
∵DE=DF-EF,∴DE=BD-CE.
(2)解:△ECF 是等边三角形.理由:∵∠ACB=60°,∴∠ACG=120°.
∵CF 平分∠ACG, ∴ ∠ECF = 60°.
∵ EF = CE,∴△ECF 是等边三角形.
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