10.3.2 直角三角形全等的判定 同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
基础闯关
知识点：利用“HL”定理判定直角三角形全等
1.人们常用两个三角尺平分一个任意角，方法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA，OB 上分别取OM=ON，使两个三角尺的一直角边分别与OA，OB 重合，移动三角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直角边相交于点 C，作射线OC，可证得△MOC≌△NOC,从而得OC 是∠AOB的平分线.在上述过程中，判定两个三角形全等的方法是( )
A. HL B. ASA C. SAS D. SSS
第1题图 第2题图
2.如图,E 是正方形ABCD 的边DC 上一点,过点A 作FA⊥AE 交CB 的延长线于点 F.若AB=4,则四边形AFCE 的面积是( )
A.4 B.8 C.16 D.无法计算
3.如图，有两个长度相等的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向上的长度DF 相等.若∠ABC=32°,则∠DFE的度数为( )
A.32° B.28° C.58° D.45°
第3题图 第4题图
4.如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D. E,F 分别是CD,AD上的点,且CE=AF.若∠AED=62°,则∠DBF=( )
A.62° B.38° C.28° D.26°
5.如图,AD 为∠CAF 的平分线,BD=CD,过点 D 作DE⊥AC 于点E,DF⊥AB 交 BA 的延长线于点 F.则下列结论：①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC.其中正确结论的序号有( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
6.[一线三垂直]如图，有一直角三角形 ABC,∠C=90°,AC =10cm,BC =5cm,P,Q两点分别在线段AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动，且 PQ=AB，则 P 点运动到 AC 上什么位置时，△ABC 才能和△APQ 全等
能力提升
7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(3,0),B(0,-1),点C在第四象限,且AB=BC,∠ABC=90°,则点C的坐标是 .
8.如图，在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A 可以摆动，OA 表示小球静止时的位置.当小球从OA 摆到OB 位置时,过点 B 作 BD⊥OA 于点D，当小球摆到OC 位置时，OB 与OC 恰好垂直,过点C作CE⊥OA于点E,测得CE=24cm,OA=OB=OC=30cm.则AD的长为 cm.
9.[一线三垂直]如图,AB=AC,∠BAC=90°,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,且.求证:BD=EC+ED.
10.如图,在△ABC 中,∠C=90°,CD=DE,DE⊥AB 于点E,点F 在AC上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB.
(2)求证:AB=AF+2EB.
11.[推理能力]如图,AD 是△ABC 的中线,BE⊥AD,垂足为点 E,CF⊥AD,交 AD的延长线于点 F，G是 DA 延长线上一点，连接BG.
(1)求证:BE=CF.
(2)若BG=CA,求证:GA=2DE.
参考答案
1. A 2. C 3. C 4. C
5. D [解析]∵AD 平分∠CAF,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF.
在 Rt△CDE和Rt△BDF中,∵,∴Rt△CDE≌Rt△BDF(HL),故①正确.
∴CE=BF.在Rt△ADE和Rt△ADF中,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴AE=AF,∴CE=AB+AF=AB+AE,故②正确.
∵Rt△CDE≌Rt△BDF,∴∠DBF=∠DCE.
设AC与BD交于点O,∵∠AOB=∠COD,∴∠BDC=∠BAC,故③正确.
综上所述,正确的结论有①②③.
6.解：根据直角三角形全等的判定方法HL可知，①当点P运动到AP=BC时,在 Rt△ABC与Rt△QPA 中,∵,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),即AP=BC=5cm,∴当AP=5cm时,△ABC 和△QPA 全等.
②当点P运动到与点C重合时,AP=AC.在Rt△ABC与Rt△PQA中,∵,∴Rt△ABC ≌ Rt△PQA(HL),即 AP=AC=10cm,∴当点P与点C重合时,△ABC和△PQA 全等.
综上所述,当点 P 运动到AP=5cm 或点 P 与点C 重合时,△ABC 和△APQ全等.
7.(1,-4) [解析]过点C作CE⊥y轴于点E.
∵∠ABC=90°,∴∠ABO+∠CBE=90°.
∵∠AOB=90°,∴∠ABO+∠BAO=90°,∴∠BAO=∠CBE.
在△AOB 与△BEC中,∵,∴△AOB≌△BEC(AAS),
∴OB=EC=1,BE=OA=3,∴OE=OB+BE=1+3=4.
∵点C在第四象限,∴点 C 的坐标是(1,-4).
8.6 [解析]∵OB⊥OC,∴∠BOD+∠COE=90°.
又∵CE⊥OA,BD⊥OA,∴∠CEO=∠ODB=90°,∴∠BOD+∠B=90°,∴∠COE =∠B.
在△COE和△OBD中,∵∴△COE≌△OBD(AAS),∴CE＝OD=24cm.
∵OA=30cm,∴AD=OA-OD=30-24=6(cm).
9.证明:∵∠BAC=90°,CE⊥AE,BD⊥AE,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠DAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,
∴ ∠ABD = ∠DAC.
在 △ABD 和△CAE 中,
∴BD＝AE,EC=AD.∵AE=AD+ED,∴BD=EC+ED.
10.证明:(1)由题意,得∠C=90°,DE⊥AB,DE=DC.
在Rt△CDF 与Rt△EDB 中, Rt△EDB(HL),∴CF=EB.
(2)在Rt△ACD和Rt△AED中,∵,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE.
∵CF=BE,∴AB=AC+EB=AF+2EB.
11.证明:(1)∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠F.
在△BED 和△CFD中, CF.
(2)在 Rt△BGE 和 Rt△CAF 中, ∴Rt△BGE≌Rt△CAF(HL),
∴GE=AF,∴AG=EF.
∵△BED≌△CFD,∴DE=DF,∴GA=2DE.
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