10.4.1 线段的垂直平分线的性质、判定定理 同步练习（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质、判定定理
基础闯关
知识点一：线段垂直平分线的性质
1.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和点E, ∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为( )
A.50° B.70° C.75° D.80°
第1题图 第2题图
2.如图,DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E，且AC=8,BC=5,则△BEC 的周长是( )
A.12 B.13 C.14 D.15
3.如图,△ABC 中,∠BAC=100°,DF,EG 分别是AB,AC 的垂直平分线,则∠DAE 等于( )
A.50° B.45° C.30° D.20°
第3题图 第4题图
4.如图，锐角三角形ABC中，直线为BC的垂直平分线，射线m为∠ABC的平分线,与m相交于点P,连接PC.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP等于( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
5.如图，在△ABC中,∠A=50°,点 D为BC 中点,过点 D 作 BC的垂线，交AB 于点E，连接CE,作∠ACE 的平分线CF,与 DE 的延长线交于点 F，则∠F 的度数为 .
知识点二：线段垂直平分线的判定
6.如图,AC=AD,BC=BD,则有( )
A. AB 垂直平分CD B. CD 垂直平分AB
C. AB 与CD 互相垂直平分 D.以上都不正确
7.如图,点 D 在△ABC 的边 BC 上,且 BC=BD+AD,则点 D 在线段( )的垂直平分线上.
A. AB B. AC C. BC D.不确定
能力提升
8.如图,D 为△ABC内一点,过点D 的直线EF与边AB,AC分别交于点F,E.若点 E,F 恰好分别在 CD，BD 的垂直平分线上，记∠DBF=α,∠A+2∠DCE=β,则α,β满足的关系式为( )
A.β-α=90° B.β-2α=90° C.2α+β=180° D.2β+α=180°
第8题图 第9题图
9.如图,在△ABC 中,∠BAC=70°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 E，AC 的垂直平分线交BC 于点D,则∠EAD= 度.
10.如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交 BC,AB 于点 E,M，边AC 的垂直平分线分别交BC，AC 于点F,N,△AEF 的周长是10.
(1)求 BC 的长度.
(2)若∠B+∠C=45°,EF=4,求△AEF 的面积.
11.如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线相交于点 P，过点 P 作 PF⊥BC 于点 F,PE⊥AB 交 BA的延长线于点E.
(1)求证:AE=CF.
(2)若AB=7cm,BC=15cm,求AE 的长.
12.[推理能力]如图,OF 是∠MON 的平分线,点A 在射线OM 上,P,Q 是直线ON 上的两个动点，点Q 在点 P 的右侧，且PQ=OA，作线段OQ 的垂直平分线，分别交直线OF,ON 于点B,C,连接AB,PB.
(1)如图①,当P,Q两点都在射线ON上时，线段AB与PB的数量关系是 .
(2)如图②,当 P,Q 两点都在射线ON 的反向延长线上时，线段AB，PB 是否还存在(1)中的数量关系 若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. B 2. B 3. D
4. C [解析]∵BP 平分∠ABC,∴∠ABP=∠CBP.
∵直线为线段BC的垂直平分线,
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠A=60°,∠ACP=24°,
∴3∠ABP+24° ,解得∠ABP=32°.
5.25° [解析]∵∠A=50°,∴∠B+∠ACB=180°-50°=130°.
∵点 D为BC中点,ED⊥BC,∴ED 是BC的垂直平分线,∴EB=EC,∴∠B=∠ECB.
∵CF 是∠ACE 的平分线,∴∠ACF=∠ECF,
∴∠B+∠ACF=∠ECB+ .
∵∠FDC=90°,∴∠F=90°-65°=25°.
6. A 7. B
8. C [解析]∵点E,F恰好分别在CD,BD 的垂直平分线上,∴FB=FD,ED=EC,
∴∠BDF=∠DBF=α,∠CDE=∠DCE,
∴∠AFE=∠BDF+∠DBF=2α,∠AEF=∠CDE+∠DCE=2∠DCE.
∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°,∴∠A+2α+2∠DCE=180°.
∵∠A+2∠DCE=β,∴2α+β=180°.
9.40
10.解:(1)∵ME 是AB 的垂直平分线,NF 是AC 的垂直平分线,∴BE=AE,FA=FC,∴BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=10.
(2)∵∠B+∠C=45°,∴∠BAC=135°.
∵BE=AE,FA=FC,∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C,∴∠EAF=90°,∴AE +AF =16.
又∵AE+AF=10-4=6,∴△AEF 的面积
11.(1)证明:如图,连接 PA,PC.
∵∠ABC 的平分线与AC的垂直平分线相交于点 P,PE⊥AB,PF⊥BC,
∴PA=PC,PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.
在 Rt△PEA 和Rt△PFC 中,∵,∴Rt△PEA≌Rt△PFC(HL),∴AE=CF. (2)解:在 Rt△PEB 和 Rt△PFB中,∵,∴Rt△PEB≌Rt△PFB(HL),
∴BE=BF,∴AB+AE=BC-CF.
∵AB=7cm,BC=15cm,∴7+AE=15-AE,∴AE=4cm.
12.解:(1)AB=PB
(2)存在.证明:如图,连接 BQ.
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO.
∵OF 平分∠MON,∠BOQ=∠FON,∴∠AOF =∠FON =∠BQC,∴∠AOB =∠BQP .
∵OA =QP,BO= BQ,∴△AOB≌△PQB(SAS),∴AB=PB.
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