10.4.2 线段的垂直平分线的画法（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
4 线段的垂直平分线
第2课时 线段的垂直平分线的画法
基础闯关
知识点一：线段的垂直平分线的尺规作图
1.已知△ABC(AC＜BC),用尺规作图的方法在BC 上确定一点P,使 PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是( )
2.如图,∠AOB=40°,在射线OB上取点C,以O为圆心，OC长为半径作圆弧，交OC的垂直平分线于点D(点D在OC上方),连接CD交OA于点E,则∠AEC= .
第2题图 第3题图
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线MN，与AC,BC分别交于点 D,E,连接AE.
(1)∠ADE= °.
(2)AE EC.(填“＞”“＜”或“＝”)
(3)当AB＝3,AC＝5时,△ABE 的周长＝
4.如图所示，一辆小车在笔直的公路AB 上由A向B 行驶，M，N是位于公路AB 两侧的村庄，当小车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等
知识点二：三角形三边垂直平分线的性质与判定
5.在三角形内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形( )
A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点
6.如图，已知O为△ABC 三边垂直平分线的交点,且∠A=50°,则∠BOC 的度数为( )
A.80° B.100° C.105° D.120°
第6题图 第7题图
7.[几何直观]在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC 内部有E,F,G,H 四个格点,则到△ABC三个顶点距离相等的点是( )
A.点E B.点F C.点G D.点 H
能力提升
8.如图,AD 是∠BAC 的平分线,EF 垂直平分AD 交 BC的延长线于点F.若∠FAC=65°,则∠B 的度数为( )
A.45° B.50° C.65° D.60°
9.[一题多辨](1)如图①,在△ABC中，P是AB，AC 的垂直平分线的交点.如果∠BAC=72°,那么∠PBC 等于 °.
(2)如图②,点 P 为△ABC 三边垂直平分线的交点.如果∠PAC=20°,∠PCB=30°,那么∠PAB 等于 °.
10.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C 为圆心，CA 的长为半径画弧①；
步骤2:以 B 为圆心,BA 的长为半径画弧②，交弧①于点 D；
步骤3:连接 AD,交 BC 的延长线于点H.
下列叙述正确的是 .(填序号)
①BH 垂直平分线段AD;②AC平分∠BAD;④AB=AD.
11.如图,在△ABC 中,分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点,连接 MN,交 AB于点H，以点 H 为圆心，HA 的长为半径作的弧恰好经过点C，以点 B 为圆心，BC的长为半径作弧交AB 于点D，连接CD.若∠A=22°,则∠BDC 的度数为 .
12.如图，靠近河边有一块三角形菜地，要分给赵、钱、孙、李四家，为了使分配公平合理，要求把这块菜地分成面积相等的四份，而且为了便于取水浇地，每家分的地都要靠河边.你能将这块菜地合理分配吗 如果能，请说出具体分法并保留作图痕迹.
13.[方程思想]如图,在△ABC 中,∠C=90°,点 P 在AC 上运动,点 D 在 AB上运动，PD 始终保持与PA 相等，BD 的垂直平分线交 BC 于点E,交 BD 于点 F,连接DE.
(1)判断 DE 与 DP 的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=3,BC=4,PA=1,求线段 DE的长.
参考答案
1. D 2.100 3.(1)90 (2)= (3)7
4.解：连接MN，作线段 MN 的垂直平分线，交直线 AB 于点C，则C点即为所求.
5. C 6. B 7. B 8. C
9.(1)18 (2)40 10.①③
11.56° [解析]连接CH.
由题意得直线 MN 是线段AB 的垂直平分线,∴AH=BH.
∵CH=AH,∴CH=BH,∴易证得∠ACB=90°.
∵∠A=22°,∴∠ACH=∠A=22°,∴∠BCH=∠B=68°.
∵BC=BD,∴∠BDC=
12.解:能.如图所示,△ABE,△AED,△ADF,△AFC 即为所求.
作法:(1)作线段 BC 的垂直平分线交BC 于点D;
(2)分别作 BD,CD 的垂直平分线,分别交 BD,CD 于点E,F;
(3)分别连接AE,AD,AF.
13.解:(1)DE⊥DP.
理由:∵PD=PA,∴∠A=∠PDA.
∵EF 是BD 的垂直平分线,∴EB=ED,∴∠B=∠EDB.
∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠PDA+
(2)如图,连接PE.设DE=x,则EB=ED=x,CE=4-x .
解得 则
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