10.5.2 角平分线的性质与判定的综合应用（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
5 角平分线
第2课时 角平分线的性质与判定的综合应用
基础闯关
知识点一：三角形三条角平分线的性质
1.如图，已知BD 是△ABC 的角平分线,ED 是 BC 的垂直平分线,∠BAC=90°,AD=3,则CD的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
第1题图 第2题图
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=50°,CO 平分∠ACB,AO平分∠BAC,连接BO,则∠OBC 的度数是 .
知识点二：角平分线的性质与判定的综合应用
3.如图所示,表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图所示,在△ABC 中,P 为BC 上一点,PR⊥AB,垂足为点 R,PS⊥AC,垂足为点 S,AQ=PQ,PR=PS.有下面三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.全对
第4题图 第5题图
5.如图,△ABC 中,∠B=90°,两直角边 AB=7，BC=24，三角形内有一点 P 到各边的距离相等,PE⊥AB,PF⊥BC,PD⊥AC,垂足分别为E,F,D,则 PD 的长为 .
6.已知∠AOB =60°,OC 是∠AOB 的平分线,点D 为OC 上一点，过点D 作直线 DE⊥OA,垂足为点 E,且直线 DE 交OB 于点 F,如图所示.若DE=2,则DF= .
能力提升
素养提升微专题
【角平分线与图形的面积】
7.如图,已知在△ABC 中,CD 是AB 边上的高线,BE 平分∠ABC,交 CD 于点E,BC=5,DE=2,则△BCE 的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
第7题图 第8题图
8.如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD=90°,BD 平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD 的面积是( )
A.24 B.30 C.36 D.42
9.如图所示,已知△ABC 的周长是20,BO,CO分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于点D,且OD=3,则△ABC 的面积是 .
【利用或构造角平分线模型进行计算】
10.如图,∠B=∠C=90°,M 是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB 的度数为 .
11.如图,△ABC中,∠BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 DE 相交于点 D，DF⊥AB 于点F,AB=6,AC=4,则 BF 的长度为 .
【对角互补模型】
12.如图,已知∠AOB=90°,OM 是∠AOB 的平分线，将三角尺的直角顶点 P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB 交于C，D两点.请判断 PC 和 PD 的数量关系，并说明理由.
13.如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于点F,PA=PC.
求证:∠PCB+∠BAP=180°.
14.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,AE 是∠BAD 的平分线,点 F 为AE 上一点,连接BF,∠BFE=45°.
(1)求证:BF 平分∠ABE.
(2)连接 CF 交 AD 于点 G,若S△ABF =S△CBF,求证:∠AFC=90°.
(3)在(2)的条件下,当BE=3,AG=4.5时,求线段AB 的长.
参考答案
1. A 2.20° 3. D 4. A 5. 3 6. 4 7. C
8. B [解析]如图,过点 D 作DH⊥AB,交 BA 的延长线于点H.
∵BD 平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴四边形ABCD的面积
9. 30 10. 35°
11.1 [解析]如图,连接CD,过点 D 作DM⊥AC交AC的延长线于点 M.
∵AD 是∠BAC 的平分线,DF⊥AB,DM⊥AC,∴ DF = DM,∠M = ∠DFB = 90°.
在Rt△ADM和Rt△ADF中,≌Rt△ADF(HL),∴AM=AF.
∵DE 是BC 的垂直平分线,∴ CD = BD.
在 Rt△CDM 和 Rt△BDF 中,∵,∴Rt△CDM≌Rt△BDF(HL),∴CM=BF,∴AB=AF+BF=AM+BF=AC+CM+BF=AC+2BF.
∵AB=6,AC=4,∴BF=1.
12.解:PC=PD.理由:如图,过点 P 分别作PE⊥OB 于点E,PF⊥OA 于点 F.
∵∠CFP =∠DEP=90°,∠AOB=90°,∴∠FPE=90°.
∵OM 是∠AOB 的平分线,∴PE=PF.
∵∠CPF+∠FPD=90°,∠DPE+∠FPD=90°,∴∠CPF=∠DPE.
在△CFP 和△DEP 中,∵,∴△CFP≌△DEP(ASA),∴PC=PD.
13.证明:如图,过点 P 作 PE⊥BA 于点 E.
∵∠1=∠2,PF⊥BC于点F,∴PE=PF,∠PEA=∠PFB=90°.
在Rt△PEA与Rt△PFC 中,∵,∴Rt△PEA≌Rt△PFC(HL),
∴∠PAE=∠PCF.
∵∠PAE+∠BAP=180°,∴∠PCB+∠BAP=180°.
14.(1)证明:∵AE 是∠BAD 的平分线,∴∠BAD =2∠BAF.
∵∠BFE=45°,∴∠FBA+∠BAF=45°,∴2∠FBA+2∠BAF =90°.
∵AD为BC边上的高,∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°,∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA,
∴∠EBF =∠FBA, ∴ BF 平分∠ABE.
(2)证明:如图,过点 F 作FM⊥BC 于点M,FN⊥AB 于点 N.
∵BF 平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,∴FM=FN.
∵S△ABF =S△CBF,即 BC·FM,∴AB = BC.
在△ABF 和△CBF 中,∵,∴△ABF≌E△CBF(SNS),
∴∠AEB=∠CFB.
∵∠BFE=45°,∴∠AFB=135°,∴∠CFB=135°,
∴∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-45°=90°,∴∠AFC=90°.
(3)解:∵△ABF≌△CBF,∴AF=FC.
∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD,∴∠FAG=∠FCE.
在△AFG和△CFE中,∵,∴△AFG≌△CFE(ASA),∴AG=EC=4.5.
∵BE=3,∴BC=BE+EC=7.5.
∵△ABF≌△CBF,∴AB=BC=7.5.
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