第十章 三角形的有关证明 章末复习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第十章 三角形的有关证明
章末复习
考点整合
考点一：全等三角形的性质与判定
1.下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )
A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙
2.如图,点 B,F,C,E 共线,∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF 的是( )
A. AB=DE B.∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD
第2题图 第3题图
3.如图,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么∠AOD 的度数是 .
4.在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠C=∠E.
5.如图，点O 是线段AB 的中点，OD∥BC且OD=BC.
(1)求证:△AOD≌△OBC.
(2)若∠ADO=35°,求∠DOC 的度数.
考点二：等腰(边)三角形的性质与判定
6.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC 的角平分线.若在边 AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第6题图 第7题图
7.如图,在△ABC中,AB=AC.∠A=30°,直线a∥b,顶点 C 在直线b上,直线a交AB 于点D,交AC 于点E,若∠1=145°,则∠2的度数是( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
8.如图,在 Rt△ABC 中,D,E 为斜边AB 上的两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE 的大小为 .
第8题图 第9题图
9.周长相等的等边三角形 ABC 和等边三角形DEF 按如图所示摆放，重叠部分的周长为6，等边三角形ABC 的边长为 .
10.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD 的度数.
(2)若点 E 在边AB 上,EF∥AC 交AD 的延长线于点F.求证:AE=FE.
11.如图,在△ABC 中,∠A=40°,点D,E 分别在边AB,AC 上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE 的度数.
(2)写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系,并说明理由.
C
12.[推理能力]如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC上一定点，点 D 是直线BC 上一动点，以DE 为边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】如图①，若点 D 在边 BC 上，求证:CE+CF=CD.
【类比探究】如图②，若点 D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系，并说明理由.
考点三：直角三角形的性质与判定
13.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB 交AB 于点M,过点 M 作MN∥BC交AC于点 N,且MN 平分∠AMC,若AN=1,则 BC 的长为( )
A.4 B.6 C. D.8
14.如图，图形中的数代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为 .
15.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE 于点D,BE⊥CD 交 CD 的延长线于点 E,AD=2.4cm,DE=1.7cm,则 BE 的长度为 .
A
16.如图,长方形ABCD 中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC 折叠，点D 落在点 D'处，则重叠部分△AFC 的面积为 .
17.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D 为AB 边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD.
(2)求证:
B
考点四：线段的垂直平分线的性质与判定
18.如图,∠A=50°,点O 是AB,AC 垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
19.如图,在△ABC 中,∠C=90°,DE 是 AB 的垂直平分线，AD 恰好平分∠BAC.若DE=1,则 BC 的长是 .
考点五：角平分线的性质与判定
20.[应用意识]如图是某油路管道的一部分，延伸其中三条支路恰好构成一个直角三角形，其三边长分别为6cm,8cm,10cm,输油中心O在到三条支路距离相等的地方，则中心O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)为( )
A.24 cm B.12cm C.10 cm D.6 cm
第20题图 第21题图
21.如图,已知AB=AC,AE=AF,BE 与CF交于点D，则对于下列结论：
①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点 D 在∠BAC 的平分线上.
其中正确的是( )
A.① B.② C.①和② D.①②③
22.如图,点 P 在∠MON 的平分线上,A,B 分别在∠MON 的边OM,ON 上,若OB=3,S△OPB=6,则线段 AP 的长不可能是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
第22题图 第23题图
23.如图,在∠MON 中,以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM 于点A，交射线ON 于点B，再分别以点A，B 为圆心，OA 的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC，连接AB，AC.若OA=5,AB=6,则点 B 到 AC 的距离为( )
A.5 B. C.4 D.
数学思想
思想一：整体思想
1.如图,∠B=∠C,∠1=∠3,则∠1 与∠2之间的关系是( )
C
A.∠1=2∠2 B.3∠1-∠2=180° C.∠1+3∠2=180° D.2∠1+∠2=180°
思想二：分类讨论思想
2.在△ABC 中,AB = AC,∠BAC=100°,点 D 在BC 边上,连接AD,若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为 .
3.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC 中,∠A=80°,则它的特征值k 为 .
思想三：方程思想
4.在△ABC 中,已知 AB = AC,BD 平分∠ABC,交 AC 于点 D,若 BD = BC,求∠DBC 的度数.
参考答案
考点整合
1. B 2. C 3.90°
4.证明:∵∠BAE=∠DAC,∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE,∴∠CAB=∠EAD.
又∵AB=AD,AC=AE,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠C=∠E.
5.(1)证明:∵点O 是线段AB 的中点,∴AO=BO.
∵OD∥BC,∴∠AOD = ∠OBC.
在 △AOD 与△OBC 中,∵，∴△AOD≌△OBC(SAS).
(2)解:∵△AOD≌△OBC,∴∠ADO=∠OCB =35°.
∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB=35°.
6. D 7. C 8. 45° 9. 3
10.(1)解:∵AB=AC,AD⊥BC 于点 D,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC = 90°.
又∵∠C= 42°, ∴∠BAD =
(2)证明:∵EF∥AC,∴∠F=∠CAD.
∵∠BAD=∠CAD,∴∠BAD=∠F,∴AE=FE.
11.解:(1)∵∠ABC=80°,BD=BC,∴∠BDC=∠BCD= ×(180°-80°)=50°.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
,∴△BCE 是等边三角形,∴∠EBC=60°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.
(2)∠BEC+∠BDC=110°.理由:设∠BEC=α,∠BDC=β.
在△ABE 中,α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.
∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=α-40°+α=2α-40°.
在△BDC 中,BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=β,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+2α-40°=180°,
∴α+β=110°,∴∠BEC+∠BDC=110°.
12.【问题解决】证明:在CD 上截取CH=CE,连接EH,如图①所示.
∵△ABC 是等边三角形,∴∠ECH =60°,
∴△CEH 是等边三角形,∴EH=EC=CH,∠CEH=60°.
∵△DEF 是等边三角形,∴DE=FE,∠DEF=60°,
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,∴∠DEH=∠FEC.
在△DEH 和△FEC 中, ∴△DEH≌△FEC(SAS),
∴DH=CF,∴CD=CH+DH=CE+CF,∴CE+CF=CD.
【类比探究】解:CF=CD+CE.理由如下:∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=60°.过点 D 作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图②所示.
∵GD∥AB,∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,∴∠GDC=∠DGC=60°,
∴△GCD 为等边三角形,∴DG=CD=CG.
∵△EDF 为等边三角形,∴ ED = DF,∠EDF =∠GDC = 60°,∴∠EDG = ∠FDC. 在 △EGD 和 △FCD 中,∵,∴△EGD≌△FCD(SAS),∴EG=FC,
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE,即CF=CD+CE.
13. B 14.100 15.0.7cm
16.10 [解析]根据题意易证△AFD'≌△CFB,∴D'F=BF.设. ,则AF=8-x.
在 Rt△AFD'中,由勾股定理得( 解得x=3,
∴AF=AB-FB=
17.证明:(1)∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CE=CD.
∵∠DCE=∠ACB=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE 和△BCD 中, △BCD(SAS).
(2)∵△ACB 是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.
∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°,∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AD +AE =DE .
∵△ACE≌△BCD,∴AE=
又∵
18. A 19.3 20. D 21. D 22. A
23. B [解析]连接BC.由题意,得OC 为∠MON 的平分线.
∵OA=OB,OC平分∠AOB,∴OC⊥AB.
设OC 与AB交于点D,作BE⊥AC 于点E.
∵AB=6,OA=5,AC=OA,OC⊥AB,∴AC=5,∠ADC=90°,AD=3,∴CD=4.
在△ABC中,∵ 解得
数学思想
1. B 2.130°或90°
3. 或 [解析]①当∠A 为顶角时，等腰三角形的底角的度数为 ∴特征值 ②当∠A为底角时，顶角的度数为 ∴特征值k 综上所述，特征值k为 或
4.解:设∠C=2x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x.
∵BD=BC,∴∠BDC =∠C = 2x.
∵BD 平分∠ABC,
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)