第八章 立体几何初步 单元测试（含答案）

第八章 立体几何初步
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（　　）
A．4 B． C．8 D．
3．在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（　　）
A． B． C． D．
4．已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．1
6．在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（　　）
A．存在点，使得直线与直线相交
B．存在点，使得直线平面
C．直线与平面所成角的大小为
D．平面被正方体所截得的截面面积为
7．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知棱长为的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形包括边界内运动，且面，则的长度范围为(　　)
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（　　）
A．直线与直线AF异面
B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D．三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的
10．在三棱锥中，，，且，则（　　）
A．当为等边三角形时，，
B．当，时，平面平面
C．的周长等于的周长
D．三棱锥体积最大为
11．如图，正方体中，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与平面所成的角为30°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是　 　
13．如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是　 　.
14．《九章算术 商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马如图平面点E，F分别在线段AB，BC上，则当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.
（1）画出平面四边形的平面图，并计算其面积；
（2）若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.
16．如图，直线，，相交于点，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）为中点，求与平面所成角的余弦值．
17．如左图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点E满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如右图所示.
（1）求证：；
（2）求与面所成的角；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：；
（3）求四面体体积的最大值
19．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；
（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案
1．B
2．D
3．B
4．B
5．A
6．C
7．D
8．C
9．A,B,C
10．A,C,D
11．A,B
12．平行或异面
13．
14．
15．（1）解：
如图1，设与交点为，
因为，，所以，.
的平面图如图2所示：
则，
.
（2）解：由（1）可得，在中，有，
所以，，所以.
如图3，分别过点作及其延长线的垂线，垂足为.
矩形绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；
绕，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；
绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥.
所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.
则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，
所以，旋转形成的几何体的体积.
旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，
所以.
16．（1），
，
又，平面，，平面，
又平面，平面平面
（2）连接，
，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
，，，，四点共面
，，，，
，又平面，平面
平面，同理可得平面，
又，平面平面
平面，与平面所成角为
而，
故
与平面所成角即与平面所成角，其余弦值为
17．（1）证明：在直角梯形中，连接，如图，，，
则四边形为菱形，，连接交于点O，则，，
因此，在折起后的图中，，，如图，
，平面，则平面，又平面，
所以.
（2）解：连DO，由（1）可得，，则，
，而平面平面，平面平面，平面，
因此，平面，即是与面所成的角，而，则，
所以与面所成的角45°.
（3）解：延长，，设，连接，
显然平面，平面，又平面，平面，即是平面与平面的交线，
因平面平面，，平面平面，平面BCDE，
则平面，又平面，即，作，垂足为H，连接，
又，则平面，又平面，于是得，
因此即为平面与平面所成锐二面角的平面角，
由（2）知，又，，则，，
在中，，则.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．（1）证明：∵四边形，都是矩形，∴，，∴四边形是平行四边形，
∴，∵平面，∴平面；
（2）证明：连接，设，∵平面平面，且，∴平面，∴，
又，∴四边形为正方形，∴，
∴平面，又平面，∴，
（3）解：设，则，其中，由（1）得平面，
∴四面体的体积为：
，
时，四面体的体积最大，其最大值为.
19．（1）解：在中，，所以，
因为在直角梯形中，，，，
所以，所以四边形为正方形，所以，，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
设点到平面的距离为，由题意得，
则，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离为；
（2）解：过作交于点，如图所示：
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
作交于点，连接，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
则，所以，
所以，
连接，交于点，因为四边形为正方形，所以，
所以，设，
由，得，得，
因为，所以，解得，
因为底面，底面，所以
所以，所以，即，
所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时.
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