北京市中关村中学2024-2025学年高一年级下学期3月月考数学试卷（扫描版，含答案）

中关村中学高一年级三月数学阶段检测
2025.03
一、选择题. 本部分共 10 道小题，每题 3 分，共 30 分。在每题列出的四个选
项中，选出最符合题目要求的一项.
1. 集合 A ={x N x 6},B ={x R x2 3x 0}，则 A B = （ ）
A．{3,4,5} B．{4,5,6} C． {x 3 x 6} D．{x 3 x 6}
2. 如图，在平行四边形 ABCD中， AC AB =（ ）
A．CB B． AD C．BD D．CD
3. 与 224 角终边相同的角是（ ）
A．24 B．113 C．124 D．136
6
4. 已知函数 f (x) = log2 x．在下列区间中，包含 f (x)零点的区间是（ ）
x
A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 4) D. (4, + )
a b
5. 设 ， 都是非零向量．下列四个条件中，使 = 成立的充分条件是（ ）
a b
A. ∣ ∣ = ∣∣ ∣∣ 且 ∥ B. = C. ∥ D. = 2
AB
6. 已知平面上不共线的四点O, A, B,C ，若OA 3OB+2OC = 0 ，则 = ( )
AC
2 1 1
A. 2 B. C. D.
3 2 3
7. 设 a = log0.2 0.3，b = log2 0.3，则（ ）
A．ab a+b 0 B．a+b ab 0
C．a+b 0 ab D．ab 0 a+b
→ → → →
→ → → → → →
8. 如图所示，已知在矩形 ABCD中， AD = 4 3，设 AB = a ，BC = b ，BD = c .则 a+ b+ c =
（ ）．
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A. 2√3 B.4√3 C. 8√3 D. 16√3
1
9.已知函数 f (x) = ，给出下列四个结论：
1+ e x
① f (x) 在定义域上单调递增；
② f (x) 存在最大值；
1
③不等式 f (x) 的解集是 ( , ln 2]；
3
1
④ f (x) 的图象关于点 (0, )对称．
2
其中所有正确结论的序号是 （ ）
A. ① B. ①③ C. ①④ D. ①③④
ex +m 1, x 0
10. 已知函数 f (x) = ，其中m 1，对于任意 x1 R 且 x1 0，均存在唯一实
ax + b, x 0
数 x2，使得 f (x ) = f (x )，且 x x ，若 f (x) = f (m)2 1 1 2 有 4 个不相等的实数根，则a 的取值
范围是（ ）
A．(0,1) B． ( 1,0) C． ( 2, 1) D． ( 2, 1) ( 1,0)
二、填空题. 本大题共 6 道小题，每题 4 分，共 24 分.
11．与向量a = ( 1,1)方向相同的单位向量b = ．
12. 半径为 2，圆心角为 2 弧度的扇形的面积为 ．
1
13. 函数 f (x) = + 2 x 的定义域为 ．
lg x
14. 已知点 A(3, 4)与点B ( 1, 2)，点 P 在直线 AB上，且 AP = 2 PB ，则点 P 的坐标
为 ．
15. 对于函数 f (x) ﹐若集合 x x 0, f (x) = f ( x) 中恰有 k 个元素，则称函数 f (x) 是“ k 阶
x 1
, x a,
准偶函数”．已知函数 f (x) = 2

2x, x a．
（1）若a = 0，则函数 f (x) 是“ 阶准偶函数”；
（2）若函数 f (x) 是“1阶准偶函数”，则a 的取值范围是 ．
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16. 定义在 t,+ )上的函数 f ( x)， g ( x )单调递增， f (t ) = g (t ) = M ，若对任意k M ，
存在 x1 x2，使得 f ( x1 ) = g (x f x2 ) = k 成立，则称 g ( x )是 ( )在 t,+ )上的“追逐函数”.已知
f ( x) = x2 ，下列四个函数：
1
① g ( x) = x x；② ；③ g ( x) = 2 1；④ g (x) = 2 .其中是 f ( x)在 1,+ )上
x
的“追逐函数”的个数是 个．
三、解答题. 本大题共 4 道小题，共 46 分.
17．已知a = (1,0),b = (2,1)
(1)当 k为何值时，ka b与a+2b共线？
(2)若 AB = 2a +3b,BC = a +mb ，且 A，B，C三点共线，求 m的值．
18．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的
产品中各随机抽取了 100 件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结
果按 2,4) , 4,6) , 6,8) , 8,10 分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代
表）；
(2)若产品的质量指数在 8,10 内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的
优等品中抽取 6 件产品，再从这 6 件产品中随机抽取 2 件产品进一步进行检测，求抽取的
这 2 件产品中恰有 1 件产品是甲生产线生产的概率．
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19. 如图 1 所示，在 ABC 中，点D在线段 BC上，满足3CD = DB,G是线段 AB上的点，
且满足3AG = 2GB，线段 CG与线段 AD交于点O．
(1)若 AD = xAB + yAC ，求实数 x，y的值；
(2)若 AO = t AD，求实数 t 的值；
(3)如图 2，过点O的直线与边 AB，AC分别交于点 E，F，设 AE = AB, AF = AC，
( 0, 0)，求 + 的最小值．
20. 若函数 f ( x)满足：对任意正数 s, t ，都有 f (s)+ f (t ) f (s + t )，则称函数 f ( x)为“N函
数”．
(1)试判断函数 f
2
1 ( x) = x 与 f2 (x) = ln (x +1)是否为“N函数”，并说明理由；
(2)若函数 y = 3x + x 3a是“N函数”，求实数 a的取值范围；
若函数 f (x) 为 函数 f (1) =1 f (s) 0, f (t) 0(3) “N ”， ，对任意正数 s、t，都有 ，是否
1 x 2
对任意 x （2k ,2k+1), (k N)，都有 f (x) f ( ) ，若成立，请加以证明，若不成
x 2 x
立，请说明理由．
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