专题05 数列常考题型全归纳
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题型01 裂项相消求和（含根式与指数型） 1
题型02 错位相减求和 6
题型03 分组、并项求和（不含奇偶项） 10
题型04 倒序相加求和 13
题型05 含绝对值求和 17
题型06 关于奇偶项求和 19
题型07 数列与不等式（含数学归纳法） 24
题型01 裂项相消求和（含根式与指数型）
【解题规律·提分快招】
一、裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3）
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，记．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由，得，即，再利用等差数列的定义证明结论即可.
（2）利用裂项相消法即可求得结果.
【详解】（1）由，得，
即，
因为，所以，
所以，①
由，得．
整理得，
即，②
由①②得，
所以是公差为2的等差数列．
（2）因为，所以，
即，
所以
．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
(1)求；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用基本量代换，列方程组求出d、q，即可得到；
（2）利用裂项相消法求和即可证明．
【详解】（1）设的公差为d，的公比为q，则d为正整数，
依题意有①．
由知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得
故
（2），∴
∴
即证．
3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足.
(1)求数列的通项；
(2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.
【答案】(1)
(2)40
【分析】（1）方法1：将化为，代入计算，即可得到结果；方法2：将原式裂项，然后计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设公差为，
方法1.，，
，.
方法2..
，，.
（2）由（1）知，
.
，
即，
，.
4．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）用累加法即可求出结果；
（2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果.
【详解】（1）因为，
所以当时，，…，，，
上述各式相加得，
又，所以，
又满足上式，故.
（2）由（1）得，
所以，
所以数列的前n项和
，
即.
5．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由的关系作差得到，通过构造即可求证；
（2）由（1）得到，裂项相消求和即可；
【详解】（1）由题意，当时，，得，
，
当时，，①
，②
①-②得，
因为，所以则，
，，
所以是以为首项，3为公比的等比数列.
所以，则
（2）由，
则，
所以的前n项和
题型02 错位相减求和
【解题规律·提分快招】
一、错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·河南·开学考试）已知为数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，由已知可求得，当时，，两式相减可得，可得结论；
（2）由（1）知，，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）由题知，，当时，，解得，
当时，，则有，即，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）知，，
所以，
，
所以
，
所以.
2．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由题设得到，联合题设作差计算即可求出数列的通项公式，再检验首项是否满足即可得解；
（2）先求出数列的通项公式，再用错位相减法结合等比数列前n项和公式计算即可求解.
【详解】（1）①，
当时，②，
由①-②得，所以，
当时，，所以，满足，
所以.
（2）因为，
所以，
即③，
所以④，
由③-④可得，
即，
所以，
整理得.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)3，5 ，
(2)
【分析】（1）分别令，依次求出，再根据数列的递推关系求通项公式；
（2）由（1）求出分段数列的通项公式，进而得的通项，再利用错位相减法求和即可
【详解】（1）因为，，，
所以当时，，，解得；
当时，，，解得．
当时，
，
所以．
当时，也符合上式．
综上，．
（2）由（1）得，，
又∵ ，∴.
∴，
则，
即，①
，②
由①②得，
，
故.
题型03 分组、并项求和（不含奇偶项）
【解题规律·提分快招】
一、分组求和的常见类型 二、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列前项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，由（1）可得数列的通项公式，然后由并项求和法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）①当时，或（舍去），
②当时，，
，
上述两式相减，整理得，又，
所以，所以是以3为首项，公差为4的等差数列，
.
（2）由（1）知，
所以，
.
2．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）利用的前项和与的关系求解；
（2）利用裂项相消法以及等比数列的求和公式，由分组求和即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
，
两式相减得，即，
当时，也符合上式，故.
（2）因为，
所以
.
3．（2025·湖北·模拟预测）已知数列是等差数列，且，.
(1)求的通项公式.
(2)试问有多少项为整数？
(3)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】（1）应用等差数列求出公差，再结合通项公式计算即可；
（2）根据通项公式特征计算求解；
（3）应用分组求和结合错位相减计算求解.
【详解】（1）数列是等差数列，且，，
所以，设等差数列公差为，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）因为，
当为整数时，则为整数，所以，所以有5项为整数；
（3）因为，所以，
数列的前n项和.
设，
于是，
两式相减得，
所以，
所以
4．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列前项和与的关系求的通项公式.（2）先求出的表达式，再根据其特点进行求和.
【详解】（1）当时：已知，那么，所以.
当时：，
先展开式子.
则，所以.
当时，，上式也成立.所以.
（2）已知，把代入可得：
.
可以发现相邻两项相加为，除了第一项中的和最后一项中的.
所以.
题型04 倒序相加求和
【解题规律·提分快招】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；.
（3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解.
【详解】（1）由数列满足：，
当时，可得，
两式相减，可得，所以，
当，可得，所以，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由数列满足，
则.
（3）由（2）知，
可得，
则，
两式相加可得，所以.
2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）由题意得，再利用可求出，
（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，即，
当时，
，
因为满足上式，
所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以
①，
又
②，
①+②，得，
所以.
3．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案；
（2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案.
【详解】（1）因为，当时，，则；
当时，，则，即，
而为递增数列，故，
即为首项为2，公差为2的等差数列，
故；
（2）（i），
所以，
，
两式相加可得，
故数列的通项公式为；
（ii），
故.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于第二问的求和，要将裂项为，即可求解.
题型05 含绝对值求和
【解题规律·提分快招】
一、数列绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)8872
【分析】（1）利用等差数列的性质和基本量法，列出方程，即可求解；
（2）根据通项公式去绝对值，再根据等差数列的前项和公式，即可求解.
【详解】（1）由
则
设的公差为
则
则
所以数列的通项公式为.
（2）由题可知
，
.
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解；
（2）结合（1）得到，再分和两种情况即可．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为，所以．
又因为，则，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，.
3．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由解的方式解出，进而解出；
（2）分类讨论去除绝对值解出即可.
【详解】（1）因为，且，
当时，，
得，
整理得：，
所以为首项是，公差为的等差数列，
所以.
（2）由，所以当时，，当时，；
所以当，，
当时，，
而，
所以.
题型06 关于奇偶项求和
【解题规律·提分快招】
1、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 2、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求解，利用等差数列基本量运算求解；
（2）结合等差数列求和公式、等比数列求和公式，根据分组求和法求和即可得解.
【详解】（1）因为，①
所以有.②
②-①得.
所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列.
所以.
又数列是等差数列，且.
所以.
所以.
（2）因为
设数列的前项和为，
所以
.
故.
2．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且.
(1)计算，；
(2)求通项公式；
(3)设为数列的前n项和，求；
【答案】(1)；5
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意直接代入运算即可得，；
（2）分类讨论n的奇偶性，结合题中递推公式运算求解即可；
（3）根据（2）可得若n为奇数，则，分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
所以；.
（2）因为，
当n为奇数，则；
当n为偶数，则；
所以.
（3）由（2）可知，
若n为奇数，则，可得：
当n为偶数时，；
故当n为奇数时；
所以.
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）记为公差大于0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，，成等比数列，列出方程组计算求解即可；
（2）当为偶数时，由已知条件求得，则为等差数列，利用求和公式可求得，当为奇数时，通过化简计算可得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，
因为，，，成等比数列，
所以化简得：，
所以
（2）由（1）可知
所以，
当为偶数时，，则；
当为奇数时，，
综上，
4．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)当为偶数时，，当为奇数时，.
【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；
（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且，
即，又因为，所以，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
经检验，时，满足，
综上，当为偶数时，，
当为奇数时，.
5．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知表示数列中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到数列，则称数列为数列的“数列”．
(1)若，写出；
(2)若数列满足，且．
（i）求；
（ii）求的前项和．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）求出数列的前4项，并判断单调性，再利用“数列”求得答案.
（2）（i）利用给定的递推公式变形，借助等差数列求出，分奇偶讨论项的正负，并探讨数列的单调性，进而求出；（ii）由（i）中信息分奇偶求和，并结合分组求和及错位相减法求和即得.
【详解】（1）依题意，，且当时，数列单调递减，
所以.
（2）（i）由两边同时乘以整理得：，
则数列为等差数列，由，得数列的公差为2，
因此，即，当为奇数时，，
当为偶数时，，当且为偶数时，，
因此数列单调递减，由“数列”定义得：.
（ii）由（i）可知，当为偶数时，
，
，，
两式相减得：
，因此，
当为奇数时，为偶数，，
所以．
【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
题型07 数列与不等式（含数学归纳法）
【解题规律·提分快招】
一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 二、数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：根据作差得到，即可求出公比，再求出，即可得解；解法二：设数列的公比为，令、，即可求出、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求出，参变分离可得，令，利用作商法判断的单调性，即可求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）解法一：由，可得，
两式相减可得，则，即数列的公比为.
当时，，则，解得，
所以.
解法二：设数列的公比为，
当时，，即，
当时，，即，
解得，所以.
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以，
即，
解得，
由，可得，
令，则，
当时，，当时，，
当时，1，所以，
所以，所以的取值范围为.
2．（23-24高三上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
【答案】(1)，，，，
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
【详解】（1）因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，证明过程如下：
当时，显然成立，
假设当时成立，即，
当时，，
解得：，或，
因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
显然，
所以，舍去，
所以当时，成立，
综上所述：
3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知数列的前项和为，，.
(1)当为何值时，数列是等比数列？
(2)设数列的前项和为，，点在直线上，在（1）的条件下，若不等式对于但成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求解即可；
（2）由题意可得，从而可得是等差数列，进而可求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出，再利用分离参数法求解即可.
【详解】（1）由，得，
两式相减得，即，
所以，
由及，得，
因为数列是等比数列，所以只需要，解得，
此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）得，因为点在直线上，
所以，
故是以为首项，为公差的等差数列，
则，
所以，
当时，，
满足该式，所以，
不等式，
即为，
令，
则，
两式相减得，
所以，
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，；当时，，
则的最小值为，
所以实数的最大值是.
4．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，数列满足，求证：；
(3)若对任意正整数都有成立，求正实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件求出，继而结合得关系推出，说明数列为等比数列，即可求得答案；
（2）求出利用的表达式，利用裂项求和法，即可证明结论；
（3）将恒成立问题转化为，即恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最值，即可求得答案.
【详解】（1）由，得，即，解得．
若，则；
若，则由得，
两式相减得，
化简得，
所以数列是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此，
当时，也满足上式，故
（2）因为，所以，则，
因此
．
又因为，且，故，
因此，．
（3）由（1）得，则，即，
令（，），
因为对任意正整数n都有成立，所以，
因为，所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减．
又，且，，，
所以，因此，解得．
5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的首项不为0，前项的和为，满足．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)是否存在常数，使得为等比数列 若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）直接代入即可得，从而得证；
（2）应用数学归纳法先证明时成立，再假设时成立，进而先得到，然后代入和，最后解不等式，即可证明；
（3）先得到时解析式，再根据与关系得到，再假设为等比数列成立，代入使得等式恒成立，最后系数为0解方程组即可.
【详解】（1）因为数列满足，
令，则，
所以；
（2）当时，，
令，解得或者（舍），
下面用数学归纳法来证明：
①当时，成立；
②假设当时不等式成立，即；
则当时，即，
即，
解得或（舍），
所以，
综上所述，；
（3）当时①，
又，
所以当时，
两式作差可得，
若为等比数列且公比为，则，
代入上式可得，
因为，所以恒成立，
即，解得，，
代入①可得，解得，
所以存在常数使得为等比数列
【点睛】关键点睛：本题第二问的证明应用了数学归纳法，关键点在于统一变量和解不等式时适当放缩；第三问关键在于恒成立需要满足变量的系数为0，进而解方程即可.
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据取倒数，结合等差数列的定义可得为等差数列，即可根据等差数列的通项求解，
（2）利用分组求和，结合等差等比求和公式即可求解.
【详解】（1）因为，假设，则结合已知得，
所以，．
因为，所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
即，
所以．
（2）由（1）得，所以，
所以
，
所以．
2．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到，两式相减，然后利用等比数列的定义求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
【详解】（1）由，
得，
两式相减得，
因为，，
所以，
所以，故，
所以数列是以为首项，以为公差的等比数列，
所以；
（2）由（1）知：，
所以，
则，
两式相减得，
，
，
，
所以.
3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前100项和.
【答案】(1)
(2)200
【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式.
（2）求出，利用分组求和公式得到答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，得，
解得，则
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以
.
4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求数列的前10项和.
【答案】(1)或
(2)105
【分析】（1）设等差数列公差，由已知建立方程组进行基本量计算即可；
（2）根据条件确定通项，将含绝对值的数列分段表示，再转化为等差数列求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，，
由题意得，解得或，
所以或.
故或；
（2）当时，分别为，不成等比数列；
当时，分别为成等比数列，满足条件.
故，
记数列的前项和为，.
.
故数列的前10项和为.
5．（10-11高三上·辽宁本溪·阶段练习）在数列中，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件可得数列是等差数列，再根据可求出公差，从而可求出数列的通项公式，
（2）设数列的前n项和为，则由等差数列的求和公式可求出，由可求得时，，当时，，然后分情况可求出.
【详解】（1）∵，∴，
∴数列是等差数列，设其公差为d．
∵，∴，
∴
（2）设数列的前n项和为，则由（1）可得，
由（1）知，令，得，
∴当时，，
则
；
当时，，则，
∴
6．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用零点概念，结合等差数列的求和公式和通项公式计算即可；（2）运用裂项相消计算即可.
【详解】（1）因为为函数的两个零点，且，
所以，又因为，
所以，解得，所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以．
（2）因为
所以
7．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列前项的和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，且，，成等比数列知：
，整理得：，
即或者，因为公差大于1，故.
且，故.
数列前项和为，并满足 ①，
且，解得，
故当时， ②，
①式减②式得：，
即，故是公比为2的等比数列，
则，
故；
（2）由（1）可知，
故
则
故
故
则
8．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用累加法求得，并检验是否符合，即可求解；
（2）利用分组求和可得．
【详解】（1）由条件，知，，，，
累加，得，
所以，又，所以，又符合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），知，
设，则，
得，
所以.
9．（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)数列满足，求数列的前项和；
(3)若是等差数列，．求的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用求出，变形得到，证明出结论；
（2）在（1）的基础上，求出，利用等比数列求和公式得到答案；
（3）利用等差数列的性质得到，从而得到，错位相减求出的前项和，从而分组求和得到的前项和.
【详解】（1）①，当得，解得，
当时，②，①-②得，，
故，即，又，
故为公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，，故，
故时，，
显然满足，故，
所以；
（3），
是等差数列，则，解得，
所以，解得，
设的公差为，故，则，
所以，
，
设的前项和为，则，
则，
上面两式相减得
，
故，
设的前项和为，
则.
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，.
(1)设，求的值，使得对于任意且，都有；
(2)求证；.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由递推式求得，进而由题意得到关于的方程，再检验得到的的值，利用构造法证得为等差数列，从而得解；
（2）利用（1）中结论求得，再利用分组求和法与裂项求和法即可得证.
【详解】（1）因为，，
所以，得，，得，
因为对于任意且，都有，又，
所以，则，解得，
当时，，
由，得，整理得，
即，所以是以为公差的等差数列，
所以当时，对于任意且，都有.
（2）因为，即，
由（1）得，
所以，
所以，，
所以
.
11．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，变形得到，证明出数列是等比数列，即可求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消求出数列的前项和为，再利用不等式的性质即可得到.
【详解】（1）当时，，
又，可得，
当时，，则，即，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，故；
（2）由（1）知，
则，
则数列的前项和
，
又，则，
故.
12．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和
(1)求数列的通项公式；
(2)设恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求出通项公式；
（2）在（1）的基础上，裂项相消求出，不等式变形得到，由对勾函数的性质得到单调性，得到的最小值，得到答案.
【详解】（1）当时，，
当时，，
显然满足上式，故的通项公式为；
（2），
所以
，
故，变形得到，
其中，
由于在上单调递减，在上单调递增，
又，故当或时，取得最小值，
当时，，当时，，
故的最小值为，所以.
所以的取值范围是.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系，可得，即可利用等比数列的通项求解，
（2）根据对数运算可得，即可讨论的奇偶求得数列的前项和.
【详解】（1）由，得，
两式相减得，，
即，即，
当时，，即，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故．
（2）由（1）得，则，
故．
当为偶数时，
；
当为奇数时，为偶数，
．
综上，
14．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案；
（2）由（1）求出，根据分组求和求得答案.
【详解】（1）因为，所以当时，，
所以，即.
当时，，解得，
则是首项为1，公比为3的等比数列，
故．
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，.
当为奇数时，
，
当为偶数时，
.
综上，.
15．（23-24高三下·浙江·期中）函数，数则满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式；
（2）由（1）得，裂项相消求和得，求出的取值范围.
【详解】（1）证明：
，
则，
，
两式相加，得，即.
（2）由（1），，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，，
，
，
由题，，所以，
因为，
设，，
由对勾函数的性质，当时，最小，即，
所以当时，最大，即，
所以.
16．（23-24高三下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求数列的前99项的和的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用数列的前项和，求通项；
（2）根据（1）的结果，利用错位相减法求和；
（3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加法求和.
【详解】（1）由 ①
得 ②
①－②得：，
在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有：
（2），
两式相减得：
整理得：
（3），
所以
所以，为定值，则
且，两式相加得，因此
17．（23-24高三下·辽宁大连·期末）记数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式：
(2)若，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列的通项公和数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的通项公式可得结果，
（2）讨论时，不等式成立，证明时，，再利用错位相减法求和与不等式的性质，可证得结论.
【详解】（1）当时，，
因为是公差为2的等差数列，
所以，
当时，，
所以，
所以，
所以，
所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，
所以，所以，
（2）证明：由（1）可得，
当时，，当时，，
可用数学归纳法证明：当时，，成立，
假设时，成立，
则当时，，
所以当时，，
所以，
令，则
，
所以
，
所以，
所以，即
18．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列中，，证明：，（）．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，即数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式即可求出的通项公式；
（2）由用数学归纳法证明即可.
【详解】（1）由题设：，
，
，
．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
＝，
即的通项公式为，．
（2）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当时，因，，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当时，结论成立，即，
也即．
当时，
，
又，
所以
．
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 数列常考题型全归纳
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题型01 裂项相消求和（含根式与指数型） 1
题型02 错位相减求和 3
题型03 分组、并项求和（不含奇偶项） 4
题型04 倒序相加求和 5
题型05 含绝对值求和 6
题型06 关于奇偶项求和 7
题型07 数列与不等式（含数学归纳法） 8
题型01 裂项相消求和（含根式与指数型）
【解题规律·提分快招】
一、裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3）
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，记．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求证：．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
(1)求；
(2)求证：．
3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足.
(1)求数列的通项；
(2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.
4．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求证：.
5．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知数列中，，为数列的前n项和，满足
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
题型02 错位相减求和
【解题规律·提分快招】
一、错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·河南·开学考试）已知为数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
题型03 分组、并项求和（不含奇偶项）
【解题规律·提分快招】
一、分组求和的常见类型 二、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列前项的和.
2．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2025·湖北·模拟预测）已知数列是等差数列，且，.
(1)求的通项公式.
(2)试问有多少项为整数？
(3)求数列的前n项和.
4．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知数列的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
题型04 倒序相加求和
【解题规律·提分快招】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
2．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
3．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求．
题型05 含绝对值求和
【解题规律·提分快招】
一、数列绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
3．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
题型06 关于奇偶项求和
【解题规律·提分快招】
1、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 2、其他类型 ①数列中连续两项和或积的问题：或 ②含有类型
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
2．（24-25高三下·广西·开学考试）已知函数且.
(1)计算，；
(2)求通项公式；
(3)设为数列的前n项和，求；
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）记为公差大于0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
4．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
5．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知表示数列中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到数列，则称数列为数列的“数列”．
(1)若，写出；
(2)若数列满足，且．
（i）求；
（ii）求的前项和．
题型07 数列与不等式（含数学归纳法）
【解题规律·提分快招】
一、数列与不等式 数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 1、常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． （9）． 二、数学归纳法 （1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． （2）运用数学归纳法的步骤与技巧 ①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当取第一个值结论正确； （2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确 ②用数学归纳法证题的注意事项 （1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）． （2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）． （3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）． （4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
2．（23-24高三上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知数列的前项和为，，.
(1)当为何值时，数列是等比数列？
(2)设数列的前项和为，，点在直线上，在（1）的条件下，若不等式对于但成立，求实数的最大值.
4．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，数列满足，求证：；
(3)若对任意正整数都有成立，求正实数的取值范围．
5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的首项不为0，前项的和为，满足．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)是否存在常数，使得为等比数列 若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和为.
3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前100项和.
4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求数列的前10项和.
5．（10-11高三上·辽宁本溪·阶段练习）在数列中，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和．
7．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列前项的和．
8．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
9．（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)数列满足，求数列的前项和；
(3)若是等差数列，．求的前项和．
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，.
(1)设，求的值，使得对于任意且，都有；
(2)求证；.
11．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
12．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和
(1)求数列的通项公式；
(2)设恒成立，求的取值范围．
13．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
14．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
15．（23-24高三下·浙江·期中）函数，数则满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围.
16．（23-24高三下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求数列的前99项的和的值．
17．（23-24高三下·辽宁大连·期末）记数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式：
(2)若，数列的前项和为，求证：．
18．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列中，，证明：，（）．
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