专题13 圆锥曲线二级结论秒杀技巧
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题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径 1
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 8
题型03 中点弦问题秒杀公式 10
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为 20
题型05 离心率秒杀公式 24
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式 30
题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径
【解题规律·提分快招】
一、通径的定义 1、焦点弦 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦. 2、通径 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. 二、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 性质1、性质2的证明： ①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为. ②对于双曲线，证明过程同椭圆. ③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线经过点，从而可得答案.
【详解】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，
而抛物线的通径与轴垂直，
所以圆的这条直径与轴垂直，
且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，
因为圆的圆心为，半径为，
所以该圆与轴垂直的直径的上端点为，
即抛物线经过点，则，即.
故选：C
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论．
【详解】由题意可知，焦距等于2
故选：B．
3．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题设，令椭圆为且，结合已知有、求椭圆参数，即可得方程.
【详解】由题设，令椭圆为且，其中，
令，则，可得，
由，即，故，
所以，可得（负值舍），则，
故椭圆方程为.
故选：B
4．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，求解即可
【详解】由题意可知双曲线方程为且，
解得，
所以双曲线的标准方程为，
故选：B
5．（23-24高三上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，根据平行关系得到方程，得到，从而求出离心率.
【详解】由已知得：，
将代入椭圆中，，解得，
因为A，B分别是椭圆的右、上顶点，且，所以，
其中，
由得：，
解得，
由得：，
所以椭圆C的离心率为.
故选：C.
6．（2024·四川·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求出两点坐标，得，焦点到渐近线的距离求出，由求出的值，再由求出的值，可求双曲线的离心率.
【详解】设，则，
过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限，
由解得，所以．
由双曲线可得渐近线为，
由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，
所以．
因为，所以，解得．
由，则，得，所以离心率为．
故选：．
二、填空题
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则 .
【答案】
【分析】根据所给条件，可得，再令得，带入面积公式，计算即可得解.
【详解】由，令得，
所以，
所以，.
故答案为：
8．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则 .
【答案】
【分析】根据题设得到、通径，结合椭圆参数关系列方程求参数.
【详解】由题设，且，又，即为等腰直角三角形，
所以，通径，即，又，故，
所以（负值舍）.
故答案为：
9．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右支上一点．若线段的中点，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值为 ．
【答案】
【分析】由中位线的性质推导出轴，求出，根据可求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求得双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值.
【详解】如图，因为为线段的中点，为的中点，则，且，
又轴，所以，轴，
将代入双曲线方程可得，可得，
所以，，则，即，所以，．
设经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为，则，则，
所以，，
故两条渐近线的夹角的正切值为.
故答案为：.
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式
【解题规律·提分快招】
椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，椭圆，可得，则，
因为点在椭圆上，可得，
又由，可得,
联立方程组，可得，
所以的面积为.
故选：B.
2．（24-25高三上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解.
【详解】因为，所以，
即，
由双曲线定义可得，
所以，即，
又，所以，
所以，解得.
故选：.
3．（23-24高三上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得.
【详解】
如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①，
由余弦定理可得：，化简得：②，
由①式两边平方再减去②式，得：，
于是的面积为.
故选：D.
题型03 中点弦问题秒杀公式
【解题规律·提分快招】
中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用点差法即可求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程.
【详解】设,则，
故，
由于的中点为，故，因此,
故直线方程为，即，
经检验，直线与抛物线相交，满足条件.
故选：C
2．（24-25高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法可求得直线的斜率.
【详解】设点、，
因为点为线段的中点，则，，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
由题意可得，将这两个等式作差可得，
即，所以，直线的斜率为.
故选：D.
3．（24-25高三上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长.
【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则，
则，且，
两式相减，得，即，
则直线斜率，直线的方程为：，
由，消去，得，解得，
.
故选：B
4．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得.
【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且；
设，可得，
两式相减可得；
由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为，
可得斜率，且中点坐标为；
所以，即；
解得，所以双曲线的方程是.
故选：D
5．（24-25高三上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程.
【详解】
如图，由题意，点，，直线的斜率为，
因，故，
设点，则，
两式相减，可得：（*），
因的中点为，则，且，
代入（*），化简可得：①又②，
联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为.
故选：B.
6．（24-25高三上·重庆秀山·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率.
【详解】直线的斜率，如图，
由，得，则直线的斜率，
设，则，两式相减得，
于是，而，
因此，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：C
7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆的焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦是圆的一条直径，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆的对称性可得中点坐标，并由两点连线斜率公式求得；利用点差法可结合中点坐标构造关于的方程，结合可求得，进而得到椭圆面积.
【详解】弦是圆的一条直径，中点坐标为，
又直线过点，，
设，
由得：，即，
又，，，
，又，，，
，，椭圆的面积.
故选：C.
8．（2024·陕西宝鸡·一模）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，设直线的斜率为，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；
对于选项D：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.
9．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长.
【详解】由外接圆的面积为，则其外接圆半径为.
∵是以为底边的等腰三角形，设，则，
∴，得，
∴或.
不妨设点在轴下方，
由是以为底边的等腰三角形，知：或
设，则
，，
所以，
所以，
因为四点共线，为线段的中点，
所以，，
所以，
所以或（此时焦点在轴上，舍去）
∵为椭圆的右焦点，
，
∴，故椭圆的长轴长为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中解决弦的中点相关问题，经常利用点差法解决.
10．（2024·全国·模拟预测）已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线与方程联立后得到与横坐标有关韦达定理后结合题意计算或者设出直线与抛物线相交两点坐标，借助三点共线计算得到为定值，即只需计算的范围即可，结合题意由中点公式计算即可得.
【详解】解法一：
因为直线恒过C的焦点F，所以，
则，抛物线C：，把代入C的方程，
得，设，，
则，，所以，
所以，，
则，
，所以，由，
得；
解法二：
因为直线恒过C的焦点F，所以，
则，抛物线C：，
设，，
由A，B，F三点共线得，得，
又，所以，
由直线AB的斜率为t得，
得，则，所以，
由，得.
故选: B.
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【分析】运用数量积的定义,长度角度全部用表示，构造之间的一个等式,运用离心率公式求解即可.
【详解】由双曲线的几何性质知道，，，
∵，
∴，∴离心率.
故选：D.
2．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解.
【详解】，点到渐近线的距离为，即，
因为，所以，，
在中，由余弦定理得：.
在中，由余弦定理得：.
因为，所以，
所以，又，所以，
所以.
故选：D
3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用余弦定理可得，从而得解.
【详解】根据题意，，由，
则，．
由余弦定理可得，
，
所以，
所以．
故选：A
4．（23-24高三上·天津和平·期末）已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率.
【详解】设的左焦点为，连接，过作于，
易知，所以为的中位线，
又图中双曲线的渐近线方程为，
则，，
则为线段的中点，所以为等腰三角形，即，
又，
即，
，即，，
解得.
故选：B.
5．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，过点作于，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率.
【详解】令双曲线的半焦距为，则，
令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为，
于是，，
过点作于,则，而为线段的中点,
所以
因为，所以，
由双曲线定义得，即，解得.
所以该双曲线的离心率为.
故选：B.
二、填空题
6．（2024·青海海东·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与C的一条渐近线垂直，垂足为A，且，则双曲线C的实轴长为 ．
【答案】
【分析】令，由给定条件求出，再在中由余弦定理建立关系即可求解作答.
【详解】令，则，而双曲线的渐近线为，则，
令坐标原点为O，有，，，则，
在中，由余弦定理得，整理得，则，
所以双曲线C的实轴长为．
故答案为：
题型05 离心率秒杀公式
【解题规律·提分快招】
1、设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则． 2、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为，根据可得，利用同角三角函数的基本关系可求出直线的斜率.
【详解】
由题意得，，
∴椭圆的离心率为.
设直线的倾斜角为，根据焦比定理得，
由得，∴，
∵，∴，
∴，，
∴，即直线的斜率为.
故选：D.
2．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左焦点为F，过F作倾斜角为的直线交椭圆E于M、N两点，且（其中），则的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】首先化简椭圆方程，与直线方程联立，利用韦达定理得，，再利用向量共线的坐标表示得，消元后得的值.
【详解】由题意可知，得，即，
椭圆方程，化简为： ，
过椭圆左焦点，斜率为的直线为，与椭圆方程联立，
，化简为：，
设， ,
， ①
因为，点在线段上，即
，即 ②
由①②可知，解得：或
因为，所以.
故选：D
3．（23-24高三下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率.
【详解】设，由，得，
设直线的方程为，
由消去，得，
由根与系数的关系，得，
所以，
所以，化简得，
所以，得，
所以，可得.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题.
二、填空题
4．（24-25高三上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得，，再结合有，联立解得的值，从而得解．
【详解】因为双曲线：，所以，
设直线方程为，代入双曲线方程消去得．
设，
因为，且，
所以，．
因为，所以，
所以，，
两式联立解得（负值舍去）．
故答案为：.
5．（23-24高三下·安徽芜湖·期末）已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为 ；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则 ．
【答案】 或
【分析】由渐近线的性质与离心率定义计算可得空一；分、在轴同侧与在轴异侧进行讨论，结合倾斜角与斜率的关系，结合正切函数二倍角公式计算即可得，即可得离心率.
【详解】空一：由题意可得，则；
空二：不妨设渐近线，若、在轴同侧，
则，，
即，解得，则；
若、在轴异侧，则，
，
即，解得，则；
综上所述，或.
故答案为：；或.
【点睛】关键点点睛：第二个空的关键点在于正确使用渐近线方程，由，故可从其倾斜角与斜率的关系入手建立相应等式.
6．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】由确定与线段的位置关系，求出到渐近线的距离，接着由的关系，结合以及离心率公式即可求解.
【详解】已知双曲线：（，）的渐近线方程为，
双曲线右焦点到渐近线的距离为，
在中，，，所以，
设，则，，
因为，
所以，所以，所以，
在中，，
所以，即，即，
所以双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）.
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式
【解题规律·提分快招】
1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期中）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，若，则弦的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，
则.
故选：C.
2．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】写出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式计算求解即可.
【详解】由已知得，则过且斜率为1的直线为，设，
联立，消去得，
则，，
，
解得.
故选：A.
3．（2024·河南开封·三模）过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】分别过A，B两点作横轴的垂线，垂足分别为，
设直线AB的倾斜角为，
由题意可设，
因为，所以为钝角，如下图所示：
由，
因为，
所以有，
所以，
在直角三角形中中，，
所以．
故选：C
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线倾斜角为，由，及，可求得，当点在轴上方，又，求得，，利用对称性即可得出结果.
【详解】设直线倾斜角为，由，
所以，因为，
所以，所以，
所以，所以，
当点在轴上，又，
所以，，
所以由对称性知直线的斜率.
故选：B.
5．（24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知抛物线 过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设直线方程为，联立直线和抛物线的方程，由韦达定理得，，故选项AB正确；由，故C正确；由，当时，，即,故D错误.
【详解】设过抛物线的焦点的直线为：，
联立，消去得，
由韦达定理得，
则，故AB正确；
由，故C正确，
因为，
所以，
当时，，即,故D错误.
故选：D.
二、多选题
6．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】直线与抛物线联立方程组，求出点，的坐标，由，求得，进而求得，即可判断ABC，求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D.
【分析】如图，，直线的斜率为，则设直线的方程为，
联立得，解得：，．
由，得，故A错误；
由于，则，故C错误；
同理，故B正确；
因为直线的方程为，原点到直线的距离为，
所以，故D正确．
故选：BD．
7．（23-24高三上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．若，则直线经过定点
D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D.
【详解】因为拋物线，故的坐标为故A正确；
由于当直线过焦点时，由抛物线定义可得，但直线不一定过焦点，故B错误；
若，故，即或（舍去），
因为直线，即，得，故直线经过定点，故C正确；
设过点的切线方程为，联立 ，
所以，故 或，所以方程的根为，
故切线方程中分别为和，故，
，
可得直线，即，故D正确.
故选：ACD.
8．（24-25高三上·陕西·期中）已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据焦点坐标求得抛物线方程，然后联立直线和抛物线方程求得点A和B坐标，利用焦半径公式求得弦长判断B，利用面积分割法求面积判断C，利用两点式斜率和正切函数的单调性判断A，利用数量积判断夹角范围判断D.
【详解】由题意，则抛物线：，准线方程为，
则直线的方程为，
设，联立方程组得，解得，，
所以点，点，所以，
，故选项BC正确；
又，所以，
故，故A错误；
因为，
所以，
所以为钝角，故D错误.
故选：BC.
9．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切
B．直线过焦点时，的最小值为6
C．若坐标原点为，且，则直线过定点
D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
【答案】ABD
【分析】
对于A：根据抛物线的定义分析判断；对于B：设方程为，联立方程，根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解；对于C：设方程为，设，，联立方程，根据垂直关系可得，结合韦达定理分析求解；对于D：可知抛物线在点处的切线方程为，根据切线方程求交点坐标，结合选项B分析判断.
【详解】对于选项A：如图1，设中点为，分别过点向准线作垂线，垂足为，
则由抛物线的定义可得，，.
因为中点为，所以有，
所以以为直径的圆与的准线相切，故A正确；
对于选项B：由抛物线，可得，
由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，，
联立直线与抛物线的方程，消去x可得，
则恒成立。
可得，，
则，
所以
当且仅当时，取到最小值6，故B正确；
对于选项D：先证抛物线在点处的切线方程为，
联立方程，消去x得，
可知方程组只有一个解，即直线与抛物线相切，
可知抛物线在点处的切线方程分别为，，
联立方程，解得，即点，
结合选项B可得：，
所以点在抛物线的准线上，故D正确；
对于选项C：由题意可知直线斜率不为，设方程为，设，，，
则，，
若，则，解得或（舍去），
联立直线与抛物线的方程，消去x可得，
则，解得，
此时，符合题意，
所以，则直线过定点，故C错误；
故选：ABD.
10．（24-25高三上·浙江绍兴·期中）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，，以下说法正确的有（ ）
A．以为圆心，为半径的圆与抛物线仅有1个交点
B．以为直径的圆与轴相切
C．当轴时，取到最小值
D．若点为抛物线准线与轴交点，则一定有
【答案】ABD
【分析】联立圆与抛物线方程，根据解的个数判断A；利用半径与距离的关系判断B；当轴，求出的长判断C；将转化为判断D.
【详解】
对于A，抛物线的焦点为，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
联立，得，即，
因为，所以，交点坐标为，
所以以为圆心，为半径的圆与抛物线仅有1个交点,故A正确；
对于B，设，则的中点，，
则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，
所以的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切，故B正确；
对于C，当过点直线斜率不存在时，即，此时，
当斜率存在时，直线方程为，联立得，
设，，
则，当且仅当时，等号成立，
所以当轴时，取到最小值，故C错误；
对于D，点为抛物线准线与轴交点，所以， 直线方程为，
联立，则，所以，
则
，所以，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D选项中，转化为.
11．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与C相交于两点，与C相交于两点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．的最小值为4 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．和面积之和最小值为32
【答案】BCD
【分析】设出直线、，与抛物线联立后消去，得到与纵坐标有关的韦达定理备用，对A，表示出，计算即可得；对B，求出该圆圆心及半径，借助切线的性质判定即可得；对C，表示出、的长度后结合基本不等式即可得；对D，表示出两三角形面积之和后，借助坐标之间的关系，结合基本不等式求解即可得.
【详解】由，故焦点坐标为，准线方程为，
设，、、、，
则，
联立，消去得：，，
有，，
对于A，，故A错误；
对于B，的中点点坐标为，
因，故，
则为直径的圆以为圆心，为半径，
而圆心到的距离为，
故以为直径的圆与相切，即B正确；
对于C，因，
同理可得，
则，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，
，
由，则，
同理可得，，
即
，
当且仅当，时等号成立，
当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，，
即，可同时取等，故D正确.
故选：BCD.
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理，求，再代入三角形面积公式，即可求解.
【详解】为椭圆上的一点，，为焦点，，
，，可得，即，，
设，，则有，，，
，．
的面积．
故选：C．
2．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，A是l上一点，B是直线AF与C的一个交点，若，则|BF|＝（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的性质，结合抛物线定义进行求解即可.
【详解】抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），准线为l：y＝－1，
设A（a，－1），B（m，n），则，，
∵，
∴－2＝－4（n－1），
∴，
∴由抛物线的定义可得
故选：B．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）双曲线的焦点弦长为的弦有（ ）
A．8条 B．4条 C．2条 D．1条
【答案】B
【分析】结合双曲线的通径、左右顶点的距离与对称性，分该弦与双曲线是否交于同一支讨论即可得.
【详解】由，可得其通径为，
注意到左右顶点的距离为，
所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在，
结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
5．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在中利用边与角的关系可得，从而有，再求出离心率即可.
【详解】因为，，所以，
所以在中，，
所以，
所以，即，
故，则，则，
故，则，
解得（舍去，
故选：C.
6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，结合“点差法”，即可求解.
【详解】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，
可得.
由，两式相减得，
整理得，可得，
即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为.
故选：C.
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】法一：设出的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得到，从而列出方程，求出答案；
法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.
【详解】法一：由题意知，故的方程为，与的方程联立，
得，显然，设，则，
所以，
又，
所以，
所以.
法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为，则，故，
故直线的参数方程为（为参数），代入，
整理得，，显然，
设该方程的两根为，则，
，所以.
故选：.
8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设是双曲线的左，右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离可得，，，在和中，分别求出和，利用，
运算求解即可.
【详解】由题可得双曲线的一条渐近线方程为，，
则，则，
又，故，
在中，，
在中，，
因为，则，
即，整理可得，所以.
故选：B
9．（23-24高三上·河南·阶段练习）过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入椭圆C的方程并结合已知可得，由点差法结合已知可得，由此求出，则C上的点M到焦点F的距离的最大值为即可求解
【详解】将代入椭圆C的方程得，
所以①，
设，，则，，
两式相减得，
又，，，
所以②，
解①②得，，
所以，
所以C上的点M到焦点F的距离的最大值为.
故选：D.
10．（2024·河南信阳·一模）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意确定直线即为抛物线的准线，确定,设直线方程为，代入中可得根与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案.
【详解】设抛物线的准线为，
过点分别作l的垂线，垂足为,设的中点为M，作，垂足为N，
则,
即以为直径的圆与相切，又以为直径的圆与直线相切，
故直线即为抛物线的准线，∴,
∴，设直线方程为，代入中，
∴，即，
设，∴，
∴，
故选：B.
11．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线定义结合题目条件得到，，由直线的倾斜角和余弦定理得到，从而求出离心率.
【详解】因为，所以由双曲线的定义得，，
又，所以，
因为直线的倾斜角为，所以．
由余弦定理得，，
即，化简得，则，
解得或（舍去）．
故选：D．
12．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求解出斜率，从而求得.
【详解】因为长轴长是短轴长的2倍，所以，而，则.
设，
直线的方程为
代入椭圆方程可得，整理得，
即.
，.
，，
所以，则，即，化简得，解得，
因为，所以.
故选：A.
13．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左 右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率.
【详解】设,
由均在上，为的中点，
得，则，
∴，
∴，
设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，
∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.
∴，
∴，解得，
∴由对称性知直线的斜率为.
故选：D
【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于两点，中点为，则有，（为坐标原点）
此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了与的关系，另一方面通过是以为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.
14．（24-25高三上·上海·期中）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据垂直求直线的方程，联立直线方程求点的坐标，表示，利用得到的关系，即可求出双曲线离心率.
【详解】由题意得，，渐近线方程为.
因为，所以直线的方程为.
由得，即，
由得，即，
所以，
，
因为，所以，整理得，
所以双曲线的离心率.
故选：D.
二、多选题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（ ）
A．若，则三点共线 B．若，则三点共线
C．若，则三点共线 D．若，则三点共线
【答案】BC
【分析】设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，.AB：结合所给的条件即可判断；C：分别求出切线、的方程，由斜率之积为可得即可判断；D：结合抛物线的定义化简计算即可判断.
【详解】设直线的方程为，代入抛物线方程得，
则，，，
所以，
.
选项A：若，则，得，
故直线：，不一定经过焦点，三点不一定共线，故A错误.
选项B：若，则，得，
故直线：，经过焦点，三点共线，故B正确.
选项C：设在点处的切线方程为：，即，
与抛物线方程联立得，
，即，解得，
所以：，即，
即切线的方程为，同理切线的方程为，
由，得，得，由B知直线经过焦点，故C正确.
选项D：因为，
则，
整理得，则，故直线：，
不一定经过焦点，三点不一定共线，故D错误.
故选：BC
16．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知抛物线（）的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D．若，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先根据直线斜率得出则为等边三角形，进而得出即可判断A，根据平行及中点得出B，应用图形特征判断C，再根据弦长关系判断D.
【详解】如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接，
设抛物线C的准线交x轴于点P，则，
因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为，
因为轴，所以，由抛物线的定义可知，，
则为等边三角形，所以，则，
所以，得，故A正确；
因为，且，所以为的中点，则，故B正确；
因为，所以，所以，故C正确；
因为，所以，故D错误．
故选：ABC.
17．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
【答案】ABD
【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确.
【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确.
对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设，
得：，所以.
故B正确.
对选项C，，故C错误.
对选项D，如图所示：
过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故选：ABD
18．（23-24高三上·山西朔州·期末）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的任意两点，则正确的是（ ）
A．若，，则，
B．若直线的方程为,则
C．若，则直线恒过定点
D．若直线过点，过，两点分别作抛物线的切线，且两切线交于点，则点在直线上
【答案】BCD
【分析】联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理即可求解A，，结合向量数量积运算即可求解C，根据焦点弦公式即可求解B，根据判别式为0求解切线方程，联立直线方程即可求解D.
【详解】设,，,，
由题意可知直线斜率存在，可设直线方程为，
联立，消去得，
设，，
，，故A错误，
，
点,不同于原点，，
，，
直线的方程为，即直线过定点；故C正确，
若直线的方程为,则，所以，则，故，故B正确，
设方程与抛物线方程联立，消去得，
，解得，
的方程，
同理方程，
联立解得交点,，
由于直线过点，故点在直线上，所以，故，故D正确，
故选：BCD
19．（2024·广西柳州·一模）过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C．以为直径的圆与轴相切 D．
【答案】ACD
【分析】设直线l的方程为，，，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可判断B；设，由可判断A；比较半径与圆心到轴的距离即可判断C；由抛物线的定义表示出，将韦达定理代入化简可判断D.
【详解】由题意可设过点的直线l的方程为，设，，
联立方程组，消去整理得，
即，所以，，
，
所以，所以，故B错误；
设，设直线的方程为，令，所以，
,
所以直线的斜率为，所以，故A正确.
因为，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以圆心到轴的距离为，所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；
由抛物线的定义知：，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
20．（23-24高三上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
【答案】/
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得.
【详解】
由可得：，如图，设则①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②联立，解得：.
则三角形的面积为.
故答案为：.
21．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ．
【答案】/
【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得.
【详解】由题意可知，得，所以，
所以椭圆方程为，
椭圆的右焦点为，当时，，得，
所以.
故答案为：
22．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 .
【答案】/
【分析】由通径的求法得出，再由为直角三角形得出，建立方程求出即可得解.
【详解】因为当时，代入椭圆方程可得，
所以，不妨设在第一象限，则，
因为为直角三角形，由椭圆的对称性知，，
所以，故，即，
可得，解得或（舍去），
所以椭圆M的长轴长为.
故答案为：
23．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】先由得到F为的重心，再利用点差法求得之间的关系，进而求得椭圆的离心率
【详解】设，线段PQ的中点为，
由，知F为的重心，故，
即，解得，
又M为线段PQ的中点，则，
又P、Q为椭圆C上两点，则，
两式相减得，
所以，
化简得，则
解得或（故舍去）
则，则离心率.
故答案为：
24．（23-24高三上·云南临沧·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】/
【分析】
利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得,,由和关系可求得，，由此可求得离心率．
【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，
直线
为双曲线的通径，则
由得，则，
由得，则
由得：
即
所以，
所以离心率
故答案为：
25．（23-24高三上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为 .
【答案】或
【分析】由A，F，B三点共线可得，再将A，B两点代入椭圆得到对应关系式，最后消去求出，进而得到直线的斜率.
【详解】设，，因为，
又A，F，B三点共线，所以，
所以，所以，.
又，在椭圆上，
所以，所以，
即，
所以，所以，
所以，又，所以，所以，
由，解得，
当时，直线l的斜率；
当时，直线l的斜率，所以直线l的斜率为或.
26．（2024·安徽·一模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论，再结合，则两式相比可得，即，代入即可求出离心率.
【详解】设，其中，显然点在椭圆内，
记坐标原点为，直线的斜率分别为，易知三条直线斜率均存在，
又，两式相减整理可得，
即，又，所以两式相比可得，
即，代入，整理可得，
所以离心率.
故答案为：.
27．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则
【答案】3
【分析】设点，作差，计算得出结合离心率为，求得同理求得代入问题计算即可.
【详解】因为双曲线的离心率为 所以
不妨设因为点在上，所以
两式相减,得,
因为点是的中点，所以, ,
所以 即所以
同理
因为所以
故答案为：3.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题13 圆锥曲线二级结论秒杀技巧
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题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径 1
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 3
题型03 中点弦问题秒杀公式 4
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为 6
题型05 离心率秒杀公式 7
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式 9
题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径
【解题规律·提分快招】
一、通径的定义 1、焦点弦 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦. 2、通径 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. 二、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 性质1、性质2的证明： ①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为. ②对于双曲线，证明过程同椭圆. ③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则 .
8．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则 .
9．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右支上一点．若线段的中点，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值为 ．
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式
【解题规律·提分快招】
椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
2．（24-25高三上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（23-24高三上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型03 中点弦问题秒杀公式
【解题规律·提分快招】
中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·重庆秀山·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆的焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦是圆的一条直径，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西宝鸡·一模）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A． B． C．4 D．6
10．（2024·全国·模拟预测）已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
2．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．（23-24高三上·天津和平·期末）已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024·青海海东·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与C的一条渐近线垂直，垂足为A，且，则双曲线C的实轴长为 ．
题型05 离心率秒杀公式
【解题规律·提分快招】
1、设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则． 2、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左焦点为F，过F作倾斜角为的直线交椭圆E于M、N两点，且（其中），则的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
3．（23-24高三下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
4．（24-25高三上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ．
5．（23-24高三下·安徽芜湖·期末）已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为 ；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则 ．
6．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 .
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式
【解题规律·提分快招】
1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期中）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，若，则弦的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·河南开封·三模）过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知抛物线 过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．若，则直线经过定点
D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
8．（24-25高三上·陕西·期中）已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切
B．直线过焦点时，的最小值为6
C．若坐标原点为，且，则直线过定点
D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
10．（24-25高三上·浙江绍兴·期中）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，，以下说法正确的有（ ）
A．以为圆心，为半径的圆与抛物线仅有1个交点
B．以为直径的圆与轴相切
C．当轴时，取到最小值
D．若点为抛物线准线与轴交点，则一定有
11．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与C相交于两点，与C相交于两点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．的最小值为4 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．和面积之和最小值为32
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．16
2．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，A是l上一点，B是直线AF与C的一个交点，若，则|BF|＝（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（2024·陕西西安·模拟预测）双曲线的焦点弦长为的弦有（ ）
A．8条 B．4条 C．2条 D．1条
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
5．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设是双曲线的左，右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（23-24高三上·河南·阶段练习）过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．
10．（2024·河南信阳·一模）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（ ）
A．4 B． C． D．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
12．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左 右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高三上·上海·期中）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（ ）
A．若，则三点共线 B．若，则三点共线
C．若，则三点共线 D．若，则三点共线
16．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知抛物线（）的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D．若，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
18．（23-24高三上·山西朔州·期末）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的任意两点，则正确的是（ ）
A．若，，则，
B．若直线的方程为,则
C．若，则直线恒过定点
D．若直线过点，过，两点分别作抛物线的切线，且两切线交于点，则点在直线上
19．（2024·广西柳州·一模）过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C．以为直径的圆与轴相切 D．
三、填空题
20．（23-24高三上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
21．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ．
22．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 .
23．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为 .
24．（23-24高三上·云南临沧·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ．
25．（23-24高三上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为 .
26．（2024·安徽·一模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是 .
27．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则
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