6.4.3 正弦定理（第二课时）
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.正弦定理：在中，角的对边分别为，则：.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的 相等.
2.正弦定理的常见变形：
（1） （边角互化）.
（2） .其中，为外接圆的半径.
3.三角形的面积公式： .
思维拓展1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤是什么？
2.已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解的步骤是什么？
3.利用正弦定理判断三角形形状的方法有哪些？
基础练习1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则( )
A. B. C.1 D.2
2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则( )
A.135° B.45° C.45°或135° D.以上都不对
3.在中，若，，，则B等于( )
A. B. C.或 D.或
4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为( )
A. B. C.6 D.12
【答案及解析】
一、知识填空
1.比
2.
3.
二、思维拓展
1.（1）求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
（2）求边：根据正弦定理，知道其中的三个就可以求另外一个.已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解.
2.（1）求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值.
（2）求角：根据该正弦值求角时，要根据大边对大角或三角形内角和定理，去判断解的情况（无解、一解或两解），再根据内角和定理求第三角.
（3）求边：根据正弦定理求第三条边的长度.
3.（1）化边为角：根据题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.
（2）化角为边：根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系（如，），进而确定三角形的形状.
三、基础练习
1.答案：A
解析：由正弦定理，得，所以，
又，所以，所以.故选：A.
2.答案：B
解析：因为，，，所以由正弦定理得，，
得，因为，所以角B为锐角，所以，故选:B
3.答案：D
解析：由正弦定理可得，，，，，或，故选：D
4.答案：B
解析：在中，由正弦定理得，则
而，因此，所以.故选：B
5.答案：A
解析：设外接圆的半径为R，则，即.故选：A.6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例（第三课时）
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空实际测量中常用的名称术语
（1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时叫 .
（2）方向角：从指定方向线到目标方向线所成的 角.如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转.
（3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角.
（4）坡角与坡度：
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；
②坡度：坡面的铅直高度与 长度之比. 坡度又称为 .
思维拓展1.测量高度问题的解题思路是什么？
2.求解测量距离问题的方法有哪些？
3.测量角度问题时需要注意什么？
基础练习1.一艘轮船从A地出发，先沿东北方向航行15海里后到达B地，然后从B地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达C地，则A地与C地之间的距离是( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.15海里
2.小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得(为水平线)，测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
3.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高( )
A.20 B.16 C.27 D.9
4.在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道两端的两点A，B到某一点C的距离，再测出的大小.现已测得AC约为2km，BC约为3km，且（如图所示），则A，B两点之间的距离约为( )
A.1.414km B.1.732km C.2.646km D.3.162km
5.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，求塔高.
【答案及解析】
一、知识填空
仰角 俯角 水平 水平 坡比
二、思维拓展
1.对于底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题，先用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题，这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间中构造三棱锥，再依据条件，利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量的物体的高度.
2.选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解，构建数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中.
3.测量角度问题常涉及“方向角”“方位角”的问题，需明确两种角的含义，确定方向角或方位角时，一般都需作出方向线互相垂直的虚线，然后将要求的角落实到某个三角形中，通过正弦定理或余弦定理求出该角的某个三角函数值.
三、基础练习
1.答案：A
解析：在中，由题意可知海里，海里，.
由余弦定理可得，则海里.故选：A.
2.答案：C
解析：由题设，，而，所以，可得米.故选：C
3.答案：A
解析：由平面相似知识可知，，，所以，解得，从而.故选：A.
4.答案：C
解析：在中，由余弦定理，得，所以，故答案为：C
5.答案：
解析：在中，，，，
由正弦定理，，
，
在中，.6.4.3 余弦定理（第一课时）
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.余弦定理：在中，角的对边分别为，则：
， ， .
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 的两倍.
2.余弦定理的推论： ，， .
3.解三角形：一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
思维拓展1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法有哪些？
2.已知三边求角的基本思路是什么？
3.如何判断三角形的形状？
基础练习1.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知在三角形中，，且，则角A所对边a的长度为( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则( )
A.3 B.2 C. D.1
4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则其最大角为( )
A. B. C. D.
5.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，则=__________.
【答案及解析】
一、知识填空
1. 积
2.
3.元素 解三角形
二、思维拓展
1.（1）当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；
（2）当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，要注意解的情况的讨论.
2.利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为
钝角，结果唯一.
3.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
三、基础练习
1.答案：A
解析：因为，所以，由余弦定理可得，因为，，所以，所以.故选：A.
2.答案：C
解析：由余弦定理可得：，所以.
故选：C
3.答案：A
解析：，解得，负值舍去.故选：A.
4.答案：B
解析：设，则，，，最大，，，.故选：C.
5.答案：
解析：由余弦定理，则，又，所以，故答案为：.6.4.1 平面几何中的向量方法
+6.4.2 向量在物理中的应用举例
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空平面几何中的向量方法：
（1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： .
（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件： .
（3）求夹角问题，常用向量的夹角公式： .
（4）求线段的长度或证明线段相等，常用向量的模长公式：
或.
思维拓展1.用向量法解决平面几何问题的方法有哪些？
2.向量在物理中的应用有什么方法和步骤？
基础练习1.一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间t（单位：）为( )
A.7.2 B.7.8 C.120 D.130
2.如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A. B. C. D.
3.已知O是所在平面内的一点，若，则一定为( )
A.以BC为底边的等腰三角形 B.以AB为底边的等腰三角形
C.以BC为斜边的直角三角形 D.以AB为斜边的直角三角形
4.一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、知识填空
二、思维拓展
1.（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
2.（1）求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．
（2）用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题模型，通过向量运算解决问题；
③结果还原为物理问题.
三、基础练习
1.答案：B
解析：若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示.
由题意可知，，，且，，由勾股定理可得.因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为，则.故选B.
2.答案：A
解析：依题意，，，所以.故选A.
3.答案：C
解析：由得，则，所以，则，所以，则，所以是以BC为斜边的直角三角形.故选：C.
4.答案：A
解析：设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度，
要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，如图，，所以.故选：A.
