6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空 1.平面向量数量积的坐标表示：设向量，则 .这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的 的和.
2.向量模的坐标表示：
（1）若向量，则 .
（2）若点，向量，则 .
3.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，，是与的夹角，则 .
4.向量垂直的坐标表示：设向量，
则 .
思维拓展 1.平面向量数量积的坐标表示：设向量，则 .这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的 的和.
2.向量模的坐标表示：
（1）若向量，则 .
（2）若点，向量，则 .
3.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，，是与的夹角，则 .
4.向量垂直的坐标表示：设向量，
则 .
基础练习 1.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C.1 D.2
2.已知平面向量，，若，则( )
A.4 B. C.1 D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B.3 C.4 D.
4.已知向量与向量夹角为钝角，则实数m的取值范围是( )
A. B.且
C. D.且
5.（多选）已知平面向量，则( )
A. B.
C.与的夹角是 D.在上的投影向量是
【答案及解析】
一、知识填空
1. 乘积
2.
3.
4.
二、思维拓展
1.进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算.
2.（1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
（2）坐标表示下的运算：若，则，于是有.
3.（1）求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积；
（2）求模.利用计算两向量的模；
（3）求夹角余弦值.由公式求夹角余弦值；
（4）求角.由向量夹角的范围及求的值.
三、基础练习
1.答案：C
解析：由题意可知，且，所以，解得.故选：C.
2.答案：D
解析：由，得，即，得，即，又，，所以，解得，故选：D.
3.答案：A
解析：向量，，因为，所以，解得，
所以，所以，故选：A.
4.答案：B
解析：由，由.所以向量与夹角为钝角时，且.故选：B
5.答案：ACD
解析：对于A，，则，，A正确；
对于B，，，不共线，B错误；
对于C，，，，则，而，因此，C正确；
对于D，在上的投影向量是，D正确.故选：ACD6.3.1 平面向量基本定理
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空 1.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 .
2.基底：若不共线，则把 叫做表示这一平面内所有向量的一个 .
思维拓展
1.用基底表示向量的两种基本方法？
2.向量法解几何问题的一般思路是什么？
基础练习
1.在下列各组向量中，可以作为基底的一组是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
2.设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A.与 B.与，
C.与 D.与
3.下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底中基向量与基底基向量对应相等
4.，是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A. B.2 C. D.3
【答案及解析】
一、知识填空
1.不共线
2. 基底
二、思维拓展
1.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至可以用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
2.用向量法解决几何问题时，可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量用基底表示，把几何问题转化为向量问题，通过向量运算，再将向量问题转化为几何问题，即：几何→向量→几何，其中平面向量基本定理是基础.
三、基础练习
1.答案：D
解析：对于A，，所以，共线，不能作为基底；
对于B，，所以，共线，不能作为基底；
对于C，，所以，共线，不能作为基底；
对于D，，所以，不共线，可以作为基底.故选：D.
2.答案：C
解析：、是平面内所有向量的一组基底，与，不共线，可以作为基底，
与，不共线，可以作为基底，，故与共线，不可以作为基底，与，不共线，可以作为基底，故选：C.
3.答案：C
解析：A.任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，不正确；
B.空间向量的基底有无数个，不正确；
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底，正确；
D.基底中基向量与基底中基向量不一定相等，不正确.故选：C.
4.答案：B
解析：A，B，D三点共线，与共线，存在实数，使得，，、是平面内不共线的两向量，解得.故选：B.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
+6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
+6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空
1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作 .
2.平面向量的坐标表示：对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得 ，把有序数对 叫做向量的坐标，记作.
3.平面向量的坐标运算
设向量，则有下表：
运算 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 若， 则
4.平面向量共线的坐标表示：设，其中共线的充要条件是存在实数，使 .用坐标表示，向量共线的充要条件是 .
思维拓展 1.求点和向量坐标的常用方法有哪些？
2.平面向量坐标运算的方法有哪些？
3.如何判定向量共线？
4.利用向量平行的条件求参数值的思路是什么？
基础练习
1.已知向量，则( )
A. B. C. D.
2.在平行四边形中，为一条对角线，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.设向量，，，若()，则________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.垂直 正交分解
2.
3.
4.
二、思维拓展
1.（1）求一个点的坐标：可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
（2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
2.（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差、数乘的运算法则进行运算.
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
3.（1）利用向量共线定理，由推出.
（2）利用向量共线的坐标表达式直接求解.
4.（1）利用共线向量定理列方程组求解.
（2）利用向量平行的坐标表达式直接求解.
三、基础练习
1.答案：D
解析：因为向量，，所以.故选：D.
2.答案：B
解析：， .故选 B
3.答案：A
解析：向量，，所以，故选：A.
4.答案：B
解析：向量，，，若，则，所以，，
可得，，即得.故选：B.
5.答案：
解析：由已知，可得，所以，解得，所以.
故答案为：.
