8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.棱柱、棱锥、棱台的表面积：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 .
2.棱柱、棱锥、棱台的体积：
棱柱： （为底面面积，为高）
棱锥： （为底面面积，为高）
棱台： （分别为上、下底面面积，为高）
思维拓展1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法有哪些？
2.求几何体体积的常用方法有哪些？
基础练习1.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
2.棱长为1的正四面体的表面积为( )
A. B. C. D.
3.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为( )
A.10 B. C.40 D.44
4.如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为h，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为( )
A. B. C. D.
5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.4 B. C.2 D.
【答案及解析】
一、知识填空
1.各个面的面积的和
2.
二、思维拓展
1.求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求它们的侧面积与底面积之和.其中，侧面积就是侧面展开图的面积，一定要清楚侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，再根据有关公式分别求出其侧面积和底面积.
2.（1）公式法：直接代入公式求解.
（2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.
（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
三、基础练习
1.答案：C
解析：如图，该几何体可看作是由一个长方体和一个直三棱柱组合而成的，其中长方体的长、宽、高分别为10，6，6，三棱柱的高为10，底面是两条直角边长分别为2和6、斜边长为的直角三角形，
则该几何体的表面积为.故选C.
2.答案：A
解析：棱长为1的正四面体的表面积为：，故选：A
3.答案：C
解析：正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为，
所以侧面梯形的斜高为，所以棱台的侧面积为.故选：C
4.答案：B
解析：因为正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，所以令正四棱台的下底面边长为2，上底面边长为1，所以，由题意可得：，且四棱柱的底面是边长为2的正方形，设四棱柱中水的高度为，所以，解得，即四棱柱中水的高度为.故选：B.
5.答案：D
解析：由三视图画出几何体的直观图，如图所示：
由于CA，CB，CP两两垂直，且，则平面ABC，所以该几何体的体积为.故选：D8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.圆柱、圆锥、圆台的表面积：
（是底面半径，是母线长），
（是底面半径，是母线长），
（，分别是上、下底面半径，是母线长）.
2.圆柱、圆锥、圆台的体积：
（是底面半径，是高），
（是底面半径，是高），
（，分别是上、下底面半径，是高）.
3.球的表面积： （是球的半径）.
4.球的体积： （是球的半径）.
思维拓展1.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解方法和步骤是什么？
2.组合体的表面积和体积如何求解？
3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略有哪些？
基础练习1.已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为( )
A.2 B. C.3 D.
2.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.已知圆台上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4.青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆.它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度.已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为( )
A.立方米 B.立方米 C.立方米 D.立方米
5.已知圆锥的体积为，其侧面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C. D.
【答案及解析】
一、知识填空
1.
2.
3.
4.
二、思维拓展
1.解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图.
（2）依次求出各个平面图形的面积.
（3）将各平面图形的面积相加.
2.求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和（差）.
3.（1）解决有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.
（2）解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
三、基础练习
1.答案：D
解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，得，即，圆锥的高，所以圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，故圆柱和圆锥的侧面积之比为.故选：D.
2.答案：C
解析：圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为，所以底面圆的半径为，
所以该圆锥的侧面积为.故选：C.
3.答案：D
解析：设圆台的母线长为l.高为h.所以，解得，所以.所以该圆台的体积.故选：D.
4.答案：B
解析：由题意可知，圆柱的底面半径和高均为米，且半球的半径为米，因此，此鼎的容积为立方米.故选：B.
5.答案：B
解析：由，得，由，得，因为，解得，所以.故选：B.
