8.4.1 平面
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空平面的基本性质
1.基本事实1
文字语言：过不在一条直线上的三个点， 一个平面.
图形语言：
符号语言：A，B，C三点不共线 存在唯一的平面使A，B， .
2.基本事实2
文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
图形语言：
符号语言：，，且， .
3.基本事实3
文字语言：如果两个不重合的平面有一个 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
图形语言：
符号语言：，，且 .
4.推论1
文字语言：经过一条直线和这条直线外 ，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：点 与A共面于平面，且平面唯一.
5.推论2
文字语言：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：与b 于平面，且平面唯一.
6.推论3
文字语言：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：直线 直线a，b共面于平面，且平面唯一.
思维拓展1.基本事实3有什么作用？
2.证明点、线共面的常用方法有什么？
3.证明多点共线问题的常用方法有哪些？
基础练习1.下列说法中，正确的是( ).
A.三点确定一个平面 B.过一条直线的平面有无数多个
C.两条直线确定一个平面 D.三条两两相交的直线确定三个平面
2.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
3.下列条件一定能确定一个平面的是( )
A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点
C.两条相互垂直的直线 D.两条相互平行的直线
4.如图所示，用符号语言可表达为( )
A.，，， B.，，，
C.，， D.，，
5.（多选）下列叙述中正确的是( )
A.三点M，N，P能确定一个平面
B.若点，且，则
C.若直线，则直线l与直线m能够确定一个平面
D.若点，，且，，则
【答案及解析】
一、知识填空
1.有且只有
2.
3.公共点
4.一点
5.共面
6.
二、思维拓展
1.（1）作为判定两个平面相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线.
（2）可以判定点在直线上：点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上.
2.（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证两平面重合，即用“同一法”；
（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
3.（1）先找出两个平面，然后证明这几个点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在交线上.
（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
三、基础练习
1.答案：B
解析：若三点共线，则此三点不能确定一个平面，A错误；
过一条直线的平面有无数多个，B正确；
两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面，C错误；
三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面，D错误.故选：B
2.答案：B
解析：按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分；
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分，
所以三个不平面将空间分成4、6、7、8部分，n的最小值与最大值之和为12.故选：B
3.答案：D
解析：由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确.故选：D.
4.答案：C
解析：结合图形可以得出平面，相交于一条直线m，直线n在平面内，直线m，n相交于点A，结合选项可得C正确；故选：C.
5.答案：BCD
解析：根据题意，依次分析选项：对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若点，且，则由公理二知，故B正确；
对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；
对于D，若点，且，则由公理一知l α，D正确.故选：BCD.8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.空间中两条直线的位置关系：
①异面直线：不同在任何一个 内的两条直线.如图.
②两条直线的位置关系
2.空间中直线与平面的位置关系：
直线a在平面内： ，有无数个公共点.图形表示：
直线a与平面相交： ，有且只有一个公共点.图形表示：
直线a与平面平行： ，没有公共点.图形表示：
3.空间中两个平面的位置关系：
两个平面平行：没有公共点， .图形表示：
两个平面相交：有一条公共直线， .图形表示：
思维拓展1.判定两条直线是异面直线的方法？
2.直线与平面位置关系的判断有哪些方法？
3.平面与平面的位置关系的判断方法有哪些？
基础练习1.已知a，b是两条不同的直线，a是一个平面，若，，则( )
A. B.a与b异面
C.a与b相交 D.a与b没有公共点
2.已知平面，直线l，m，且，，则""是""的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知在两个平面内各有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不对
4.如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则下列结论一定成立的是( )
A.四边形是矩形 B.四边形是正方形
C. D.平面平面
5.已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是___________
【答案及解析】
一、知识填空
1.平面 一个 没有 没有
2.
3.
二、思维拓展
1.（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为，，，与是异面直线（如图）.
（3）证明立体几何问题的一种重要方法（反证法）：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的.
2.（1）空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型（如正方体、长方体等）也是解决这类问题的有效方法.
（2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
3.（1）平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点.
（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.
三、基础练习
1.答案：D
解析：因为a，b是两条不同的直线，a是一个平面，若，，则或a与b异面，
即a与b没有公共点，故只有D满足题意，故选：D.
2.答案：A
解析：由题意知，，若，则，所以充分性成立；若，则m与l可能平行，也可能异面，所以必要性不成立.所以""是""的充分不必要条件.故选A.
3.答案：C
解析：当两个平面相交或平行时，满足在这两个平面内各存在一条直线，使得这两条直线互相平行.故选C.
4.答案：A
解析：在矩形中，因为点E，H分别为，的中点，所以，.
同理可得在矩形中，，.所以，，所以四边形是平行四边形.在长方体中，有平面，又，所以平面，又平面，所以，所以四边形是矩形，故选项A正确；
因为根据题中条件无法判断EH，EF的长度是否相等，所以四边形不一定是正方形，故选项B错误.
假设，则由，知，连接，点E，F分别为，的中点，
所以，所以，与和为相交直线矛盾，故假设不成立，故选项C错误.
因为和为相交直线，所以平面与平面不平行，故选项D错误.故选A.
5.答案：平行或异面
解析：由题意，，故直线m与n没有交点，故直线m与n平行或异面
故答案为：平行或异面
