8.6.1 直线与直线垂直+8.6.2 直线与平面垂直
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，直线与所成的角叫做异面直线与 （或夹角）.
2.异面直线所成的角的取值范围： .
3.两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即 时，直线与直线垂直，记作 .
4.直线与平面垂直：一般地，如果直线与平面内的 直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记作 .直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足.
图形语言：
5.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，那么该直线与此平面垂直.，，，， .
图形语言：
6.直线和平面所成角的定义：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做 ，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.取值范围： .
7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.， .
图形语言：
8.点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的 ，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
9.直线到平面的距离：一条直线与一个平面 时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
10.两平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
思维拓展1.求两条异面直线所成的角的一般步骤？
2.证明线面垂直的方法？
3.求斜线与平面所成角的步骤？
基础练习1.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2.已知m，n为异面直线，平面，平面，直线l满足，，，，则( )
A.且 B.且
C.与相交，且交线与l垂直 D.与相交，且交线与l平行
3.如图，若菱形ABCD所在的平面，则MA与BD的位置关系是( )
A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
4.如图，在长方体中，，E为棱CD的中点，则( )
A. B. C. D.
5.设l是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
【答案及解析】
一、知识填空
1.所成的角
2.
3.
4.任意一条
5.相交
6.斜足 射影
7.
8.垂线段
9.平行
10.相等
二、思维拓展
1.（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成的角.
（2）证明：证明作出的角就是要求的角.
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）.
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
2.（1）线线垂直证明线面垂直：
①定义法，由线面垂直可得出线线垂直；
②判定定理，要着力寻找直线垂直于平面内哪两条相交直线（有时需作辅助线）；结合平面图形的性质（如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等）及一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直等结论来论证线线垂直，再推出线面垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：①，；②，.
3.（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影
要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
三、基础练习
1.答案：D
解析：若，则m，n平行或异面，A选项错误；
若，则或，B选项错误；
若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误；
若，，则，D选项正确.故选：D
2.答案：D
解析：若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾，故与相交.设，过空间内一点P，作，，则与相交，与确定的平面为.因为，，所以，，所以.因为，，所以，，所以，，所以.又因为，，所以l与a不重合，所以.
3.答案：C
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以.因为平面，平面ABCD，所以.因为，所以平面AMC.因为平面AMC，所以.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
4.答案：B
解析：连接，，，，与相似，，，即.又，，平面，.故选B.
5.答案：B
解析：A：若，，则或相交，故A错误；
B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，则或或，故D错误；故选：B.8.6.3 平面与平面垂直
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.二面角：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为的二面角记为 .也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角 .
2.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的 和，则射线和构成的叫做二面角的 .，，，，，是二面角的平面角.取值范围：
3.平面与平面垂直：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作 .
4.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直.， .
图形语言：
5.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直.，，， .
图形语言：
思维拓展1.证明面面垂直的常用方法有哪些？
2.在应用面面垂直的性质定理时，要注意什么？
3.解决空间问题的原则是什么？
基础练习1.已知，为两个不同平面，l为直线，且，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.如图，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起，使平面平面BCD，连接AC，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上的一点，且圆柱的底面，则必有( )
A.平面平面BCD
B.平面平面ACD
C.平面平面ACD
D.平面平面ABD
4.若平面，满足，，，，则下列命题中是假命题的是( )
A.过点P且垂直于平面的直线平行于平面
B.过点P且垂直于直线l的直线在平面内
C.过点P且垂直于平面的直线在平面内
D.过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面
5.已知a，b，c为三条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，，则；
②若，，，，，则；
③若，，，则.
其中正确的命题是____________（填序号）.
【答案及解析】
一、知识填空
1.半平面
2.射线 平面角
3.直二面角
4.垂线
5.交线
二、思维拓展
1.（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
2.（1）两个平面垂直是前提条件；
（2）直线必须在其中一个平面内；
（3）直线必须垂直于它们的交线.
3.空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
三、基础练习
1.答案：B
解析：若，，则平面内平行于l的直线垂直于，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立，若，，则l在内或l与平行，则必要性不成立.
故选B.
2.答案：C
解析：因为平面平面BCD，平面平面，，平面ABD，所以平面BCD.又平面ABC，所以平面平面BCD.因为平面BCD，所以.又，，平面ABD，所以平面ABD.又平面ACD，所以平面平面ACD.综上，平面平面BCD，平面平面BCD，平面平面ACD，共有3对，故选C.
3.答案：B
解析：是圆柱上底面的一条直径，.又圆柱的底面，.，平面ACD.又平面，平面平面ACD.故选B.
4.答案：B
解析：过点P且垂直于的直线一定平行于在内与交线垂直的直线，故A正确；过点P且垂直于l的直线有可能垂直于，如图所示，B不正确；
由题意和面面垂直的判定定理知，选项C正确；由题意和面面垂直的性质定理知，选项D正确.故选B.
5.答案：③
解析：如图，可知与不一定垂直，①错误；当直线b与c不相交时，与不一定垂直，②错误；因为，，所以，又，所以，③正确.
