8.5.3 平面与平面平行
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面 ，那么这两个平面平行.
符号表示：，，，， .
图形表示：
2.平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条交线平行.
符号表示：，， .
图形表示：
思维拓展1.平面与平面平行的判定方法？
2.证明直线与直线平行的方法？
3.如何解决线面平行的探究性问题？
基础练习1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面 B.一条直线
C.垂直 D.两个平面垂直于同一条直线
2.在正方体中，下列四对截面彼此平行的是( )
A.平面与平面 B.平面与平面
C.平面与平面 D.平面与平面
3.如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则( )
A. B.
C.平面平面ABCD D.平面平面
4.下列命题中正确的是( )
A.一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
5.如图，在正方体中，E，F，G，P，Q，R都是所在棱的中点.求证：平面平面EFG.
【答案及解析】
一、知识填空
1.平行
2.相交
二、思维拓展
1.（1）定义法：两个平面没有公共点.
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
（3）转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则.
（4）利用平行平面的传递性：若，，则.
（5）利用反证法证明.
2.（1）平面几何中证明直线平行的方法.如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等.
（2）基本事实4.
（3）线面平行的性质定理.
（4）面面平行的性质定理.
3.解决探究性问题，一般采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件（出现矛盾），则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.
三、基础练习
1.答案：D
解析：把命题改为“若p，则q”的形式为“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”.
2.答案：A
解析：如图，正方体，，，所以四边形是平行四边形，，平面，面，所以平面，同理平面.因为，，平面，所以平面平面.
故选：A.
3.答案：D
解析：因为G，H分别是，的中点，所以，又过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以，不可能互相平行，同理可证BD，EF不可能互相平行，故A错误，B错误；因为E，F分别是，的中点，所以，又H是的中点，所以，因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，因为平面平面，所以平面EFGH与平面ABCD相交，故C错误，D正确.
4.答案：B
解析：一个平面内三条直线都平行于另一平面，当这三条直线平行时，那么这两个平面不一定平行，A错误；如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面无公共点，由面面平行的定义知这两个平面平行，B正确；平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，C错误；如果一个平面内有几条直线都平行于另一个平面，当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，D错误.故选B.
5.答案：证明见解析
解析：证明：连接，，如图，
，Q，E，F都为所在棱的中点，，.
平面为矩形，，.
因为平面，不在平面EFG内，
所以平面EFG.同理平面EFG，
因为，平面PQR.
平面平面EFG.8.5.1 直线与直线平行+8.5.2 直线与平面平行
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.基本事实4：平行于 直线的两条直线平行.（这一性质通常叫做空间平行线的传递性.） .
2.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 或
.
3.直线与平面平行的判定定理
文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 ，那么该直线与此平面平行.
图形语言：
符号语言：，，且 .
4.直线与平面平行的性质定理
文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 ，那么该直线与交线平行.
图形语言：
符号语言：，， .
思维拓展1.空间两条直线平行的证明方法有哪些？
2.利用线面平行的性质定理解题的步骤？
3.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是什么？
基础练习1.在四棱锥中，“”是“平面”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是( ).
A.内的所有直线与a是异面直线 B.内不存在与a平行的直线
C.内存在唯一一条直线与a平行 D.内的所有直线与a都相交
3.在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是( )
A. B.
C. D.
4.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PB，PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是( )
A.直线AE与直线BF异面 B.直线AE与直线DF异面
C.直线平面PAD D.直线平面ABCD
5.如图，在五面体中，四边形为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是__________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.同一条
2.相等 互补
3.平行
4.相交
二、思维拓展
1.（1）定义法，即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
（2）利用平面图形有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
（3）利用基本事实4，找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
2.（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；
（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平行平面相交的平面；
（3）确定交线；
（4）由性质定理得出线线平行的结论.
3.“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”.这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.
三、基础练习
1.答案：C
解析：由，平面，平面，得平面.
由平面，平面，平面平面，得.故“”是“平面”的充要条件.故选：C.
2.答案：B
解析：设，A选项，内过A点的直线与a共面，所以A选项错误.
D选项，内，不过A点的直线与a异面，所以D选项错误.
BC，若存在，，则由于，，所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误.故选：B
3.答案：A
解析：对于选项B，如图所示，连接CD，M，Q分别是所在棌的中点，MQ，又平面平面，平面MNQ同理可证选项C，D中均有平面MNQ.故选A
4.答案：B
解析：由题意知该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接AE，EF，BF，DF，
易得，，则，故EF与AD共面，则AE与DF共面，故B错误；又平面，平面AEFD，F不在直线AE上，则直线AE与直线BF异面，故A正确；
由，平面，平面PAD，得直线平面PAD，故C正确；
平面，平面ABCD，则直线平面ABCD，故D正确.故选B.
5.答案：平行
解析：，N分别是BF，BC的中点，.又四边形为矩形，，.又平面，平面，平面.
