9.2.4 总体离散程度的估计
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.总体方差和总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称 为总体方差，为 .
2.总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，则总体方差为 .
3.样本方差和样本标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为，，…，，样本平均数为，则称为 ， 为样本标准差.
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越 ；标准差越小，数据的离散程度越 .
4.分层随机抽样的样本方差：设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的方差为 .
思维拓展1.标准差、方差的意义是什么？
2.数据分析的要点有哪些？
基础练习1.在某知识竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手的得分情况如下表：
得分（X） 6 7 8 9 10
人数 1 2 4 2 1
则这10位选手得分的方差为( )
A.12 B.8 C.0.8 D.1.2
2.有一组样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，4，6，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为( )
A.75%分位数 B.平均数 C.极差 D.众数
3.已知数据，，，，的平均数为8，方差为6，则，，，，的平均数和方差分别为( )
A.26，54 B.26，56 C.24，54 D.24，56
4.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75
5.“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
(2)已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差.
【答案及解析】
一、知识填空
1. 总体标准差
2.
3.样本方差 大 小
4.
二、思维拓展
1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差.
2.（1）要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论.
（2）在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的.
三、基础练习
1.答案：D
解析：依题意，所以方差.故选：D
2.答案：C
解析：在这组样本数据中：1，1，2，2，3，3，4，4，4，6，第75%分位数是：4，平均数是：，极差是：，众数是：4，在以上四个数中，显然是极差5最大，故选：C.
3.答案：A
解析：由题意数据，，，，的平均数为，方差为，根据平均数和方差性质可得数据，，，，，，，的平均数为，方差为，故选：A.
4.答案：B
解析：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为.故选B.
5.答案：(1)众数为75，
(2)，
解析：(1)众数：75，第1至第6组的频率分别为，
平均数：；
(2)根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，
总体平均数：，
总体方差：.9.2.3 总体集中趋势的估计
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.平均数：一组数据的和除以数据 所得到的数.
中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于 位置的数.若这组数据是偶数个，则取中间两个数据的平均数.
众数：一组数据中出现次数最 的数.
2.频率分布直方图中的统计参数：
（1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点
的 与小矩形的 的乘积之和近似代替.
（2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 .
（3）众数：在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的 所对应的数据.
思维拓展1.利用样本数字特征进行决策时的两个关注点是什么？
2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系有哪些？
基础练习1.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A. B. C. D.
2.七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84，79，86，87，84，93，84则这组分数的中位数和众数分别是( )
A.84，85 B.84，84 C.85，84 D.85，85
3.在某知识竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手的得分情况如下表：
得分 6 7 8 9 10
人数 1 2 4 2 1
则这10位选手得分的中位数和众数分别为( )
A.9，8 B.8，8 C.9，8.5 D.8.5，9
4.在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委.下面是他们给某位选手的打分情况：
43 44 45 45 46 48 49 49 50 51
设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则( )
A. B.且
C.且 D.且
5.一组数据按从小到大排列为1、4、4、4、x、7、8，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.个数 中间 多
2.横坐标 面积 相等 中点
二、思维拓展
1.（1）平均数与每一个样本数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征.
（2）当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.
2.（1）众数：在样本数据的频率分布直方图中，众数就是最高矩形的底边中点的横坐标.
（2）中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
（3）平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.
三、基础练习
1.答案：D
解析：重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.则有：，，.所以故选：D.
2.答案：B
解析：数据84，79，86，87，84，93，84按从小到大的顺序排一列：79，84，84，84，86，87，93，所以这组分数的中位数和众数分别是84，84，故A，C，D错误.故选：B.
3.答案：B
解析：由题，将这10位选手的得分从小到大排列，6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，可知第5个和第6个得分，分别为8，8，所以中位数为，且8出现的次数最多，故众数为8.故选：B.
4.答案：A
解析：由题意得，，
，∴.故选：A.
5.答案：5
解析：数据1、4、4、4、x、7、8共7个数，该组数据的众数为4，因为，所以，该组数据的第百分位数为x，因为该组数据的第60百分位数是众数的倍，则.
所以，这组数据的平均数为.故答案为：5.
