10.1.3 古典概型
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.古典概型的定义：试验具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有 个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性 .
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称 .
2.古典概型的概率计算公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 ，其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
思维拓展1.判断一个试验是古典概型的依据是什么？
2.在解决古典概型问题时需要注意什么问题？
3.求解古典概型的步骤是什么？
基础练习1.随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个骰子的点数之和是4的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
2.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为( )
A. B. C. D.
3.三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为( )
A. B. C. D.
4.柜子里有三双不同的鞋，从中任取两只，取出的鞋都是一只脚的概率是( )
A. B. C. D.
5.（多选）已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则( )
A.取出的球颜色全不相同的概率为
B.取出的球颜色不全相同的概率为
C.取出的球恰有2次红球概率为
D.取出的球无红球的概率为
【答案及解析】
一、知识填空
1.有限 相等 古典概型
2.
二、思维拓展
1.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.
2.（1）试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.
（2）计算基本事件的数目时，需做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件求解.
3.（1）读：反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息；
（2）判：判断试验是否为古典概型；
（3）列：求出试验的样本空间和所求事件所包含的样本点的个数；
（4）算：计算出古典概型的概率，对于应用题还要作答.
三、基础练习
1.答案：C
解析：随机抛掷两枚均匀骰子，观察得到的点数，基本事件总数，所得点数之和是4的倍数为事件B，则事件B的结果有，，，，，，，，共9种，所求的概率为.故选：C
2.答案：A
解析：，共有13个和式，其中加数全部为素数为，，，共3个基本事件，，故选：A
3.答案：B
解析：设三人为A，B，C，则参加晚会的情况有A，B，C，，，，，共7种情况，其中恰有一人参加晚会的情况有3种，故所求的概率为，故选：B.
4.答案：C
解析：设三双不同的鞋分别为，，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，从中任取两只有，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中取出的鞋都是一只脚的有，，，，，共6种，所以取出的鞋都是一只脚的概率是.故选：C.
5.答案：AC
解析：取出的球颜色全不相同的方法有6种，总的取球方法有27种，因此取出的球颜色全不相同的概率为，选项A正确；
取出的球颜色全相同的方法有3种，因此取出的球颜色不全相同的方法有种，
因此取出的球颜色不全相同的概率为，选项B错误：
取出的球恰有2次红球的方法有6种，总的取球方法有27种，因此取出的球恰有2次红球的概率为，选项C正确；
取出的球没有红球的方法有8种，总的取球方法有27种，因此取出的球没有红球的概率为，选项D错误，故选：AC.10.1.2 事件的关系和运算
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 ____________
并事件（和事件） A与B至少一个发生 ________或________
交事件（积事件） A与B同时发生 ________或________
互斥（互不相容） A与B不能同时发生 ______
互为对立 A与B有且仅有一个发生 _____， _____
思维拓展1.判断事件间关系的方法有哪些？
2.进行事件的运算时要注意什么？
基础练习1.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是( )
A. B. C. D.
2.掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则( )
A.
B.表示向上的点数是1或3或5
C.表示向上的点数是1或3
D.表示向上的点数是1或5
3.某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是( )
A. B. C. D.
4.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”.则下列结论错误的是( )
A.与互斥 B.，
C. D.，为对立事件
5.把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张.设A：出现偶数，B：出现3的倍数.若“A，B两个事件至少有一个发生“的对立事件是C，则事件C对应的子集是______.
【答案及解析】
一、知识填空
AB
二、思维拓展
1.（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的.
（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
2.进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件.
三、基础练习
1.答案：D
解析：A：事件A包含于事件D，正确.
B：由事件B，D不能同时发生，所以，正确.
C：事件指至少有一次击中飞机，即事件D，正确.
D：由{至少有一次击中飞机}，不是必然事件；而为必然事件，所以，不正确.故选：D.
2.答案：B
解析：由题可知，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，所以事件B不等于事件A，故A错误；
事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误；
事件表示“向上的点数是1”，故D错误；故选：B.
3.答案：C
解析：根据题意可得，所以选项A正确；
事件B和事件D是对立事件，故，所以选项B正确；
事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件表示“两次都未投中”“两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误；
事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项D正确.
4.答案：D
解析：由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；中点数为1或2，中点数为3，4，5，6中的一个，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；
发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；
与不可能同时发生，但也可能都不发生，因此与互斥但不对立，D错误.故选D.
5.答案：，，，，，，，
解析：事件A包含的基本事件有事件B包含的基本事件有，包含的基本事件有，事件C包含的基本事件有，则事件C对应的子集是，，，，，，，.故答案为：，，，，，，，.10.1.4 概率的基本性质
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空概率的基本性质：
性质1：对任意的事件，都有 .
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 ， .
性质3：如果事件与事件互斥，那么 .
性质4：如果事件与事件互为 事件，那么，.
性质5：如果 ，那么.
性质6：设是一个随机试验中的两个事件，有 .
思维拓展1.求复杂的概率的常用方法有什么？
2.互斥事件、对立事件概率的求解方法？
基础练习1.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，则“”的概率为( )
A. B. C. D.
3.从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于( )
A. B. C. D.
4.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为( )
A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82
5.甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为，.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为_______________.
【答案及解析】
一、知识填空
0 1 0 对立
二、思维拓展
1.一是将所求事件转化成彼此互斥事件的并；
二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
2.（1）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件
彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
（2）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.
三、基础练习
1.答案：C
解析：因随机事件A，B互斥，则，依题意及概率的性质得，即，解得，所以实数a的取值范围是.
故选：C.
2.答案：D
解析：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有种基本事件，设A为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n，则“”，则A中共有基本事件3种：，，所以，故“”的概率为.
故选：D.
3.答案：C
解析：取得红球与取得白球为对立事件，取得白球的概率P＝.故选：C.
4.答案：C
解析：设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.故选C
5.答案：
解析：由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中，所以其概率为.故答案为：.10.1.1 有限样本空间与随机事件
——高一数学人教A版（2019）必修第二册课前导学
知识填空1.随机试验：将对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称 ，常用字母表示.随机试验具有以下特点：
①试验可以在相同条件下 进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 ，但事先不能确定出现哪一个结果.
2.有限样本空间：随机试验的每个可能的基本结果称为 ，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般用表示样本点，用 表示样本空间，如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为 .
3.随机事件：将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为 .随机事件一般用大写字母…表示.在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为 .
4.必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，称为 .
5.不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都 发生，称为不可能事件.
思维拓展1.如何求试验的样本空间？
2.对事件分类的两个关键点是什么？
基础练习1.已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是( )
A.事件“都是红色球”是随机事件
B.事件“都是白色球”是不可能事件
C.事件“至少有一个白色球”是必然事件
D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件
2.在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是( )
A.必然事件 B.随机事件 C.确定事件 D.不可能事件
3.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是( )
A.3件都是正品 B.至少有2件是次品
C.3件都是次品 D.至少有1件是正品
4.下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中既不是确定事件又不是不可能事件的是( )
A.①④ B.①②③ C.②③④ D.②④
5.下列事件中，随机事件的序号为______.
①某项体育比赛出现平局.
②全球变暖会导致海平面上升.
③一个三角形的三边长分别为1、2、3.
④抛掷一枚硬币，出现反面向上.
【答案及解析】
一、知识填空
1.试验 重复 一个
2.样本点 有限样本空间
3.基本事件 事件发生
4.必然事件
5.不会
二、思维拓展
1.求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点.对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏.写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关.
2.（1）条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.
（2）结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况
三、基础练习
1.答案：C
解析：因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确.故选：C.
2.答案：B
解析：根据题意，从布袋中摸出一个球，有可能是黑球，也有可能是红球，故摸出1个黑球是随机事件.故选：B.
3.答案：D
解析：因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品.故选：D
4.答案：A
解析：抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，即①是随机事件；
因三角形三条高线一定交于一点，则②是必然事件；
因实数a，b都不为0，则，于是得③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.故选：A.
5.答案：①④
解析：体育比赛出现平局、抛掷一枚硬币出现反面向上均为随机事件；全球变暖会导致冰川溶化，海平面上升是必然事件；因为三角形两边之和大于第三边，而，所以一个三角形的三边长分别为1、2、3是不可能事件.故答案为：①④.
