8.1.3 向量数量积的坐标运算
——高一数学人教B版（2019）必修第三册课前导学
知识填空1.向量的坐标与向量的数量积：设，则 .
2.向量模、夹角的坐标表示：当都不是零向量时，因为 ， ，所以 .
3.两点之间的距离公式：如果，，则，因此 .
4.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设向量，
则 .
思维拓展1.数量积运算的途径及注意点有哪些？
3.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤是什么？
基础练习1.若向量，，且，则实数x的值为( )
A. B. C.-3 D.3
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.8
3.已知向量，.若a与b垂直，则a与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知点，点B为直线上一点，且，则点B的坐标为___________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.
2.
3.
4.
二、思维拓展
1.进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算.
2.（1）求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积；
（2）求模.利用计算两向量的模；
（3）求夹角余弦值.由公式求夹角余弦值；
（4）求角.由向量夹角的范围及求的值.
三、基础练习
1.答案：A
解析：由题意，得，所以，解得.
2.答案：C
解析：由题意，得，解得，所以，所以.
3.答案：A
解析：因为a与b垂直，所以，解得，则，，设a与的夹角为，则.故选A.
4.答案：或
解析：由题意可设点B的坐标为，则，解得或，所以点B的坐标为或.8.1.2 向量数量积的运算律
——高一数学人教B版（2019）必修第三册课前导学
知识填空向量数量积的运算律：
交换律： ；数乘结合律： ；分配律： .
思维拓展1.求向量的数量积的关键点是什么？
2.求向量的模的常见思路及方法？
基础练习1.已知向量a，b满足，，则( )
A.4 B.3 C.2 D.0
2.已知，，.如果，那么实数m的值为( )
A. B. C. D.
3.设向量a，b满足，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.5
4.已知向量a，b满足，，，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
5.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则__________.
【答案及解析】
一、知识填空
二、思维拓展
1.求向量的数量积时，需掌握相关向量的模和夹角两个关键点.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
2.（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方.
（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
（3）一些常见的等式应熟记，如，等.
三、基础练习
1.答案：B
解析：.
2.答案：C
解析：由题意知，即，，解得.
3.答案：A
解析：由题意，知，，两式相减得，所以.
4.答案：C
解析：因为，所以，即.又，，所以，又，所以.
5.答案：1
解析：在边长为2的等边三角形ABC中，BD为中线，则，所以
.8.1.1 向量数量积的概念
——高一数学人教B版（2019）必修第三册课前导学
知识填空1.两个向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作，，则称内的为向量a与向量b的 ，记作 .
2.向量垂直：根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，且 ，. 当 时，称向量a与向量b垂直，记作 .
规定零向量与 向量垂直.
3.向量数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称为向量a与b的
（也称为 ），记作，即 .
4.数量积的性质：若a，b都是非零向量，则
①；② ，即 ；③ .
5.向量的投影：设非零向量，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为，，则称向量为向量a在直线l上的 向量或投影.
6.投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称为向量a在向量b上的 .特别地，当e为单位向量时， .
思维拓展1.求向量的数量积时的关键是什么？
2.如何求非零向量的夹角？
基础练习1.已知是边长为2的等边三角形，则( )
A.-2 B. C.2 D.
2.若，，向量a与向量b的夹角为，则向量a在向量b上的投影的数量为( )
A.-3 B.-2 C.2 D.-1
3.已知，向量a在向量b方向上的投影数量为4，则( )
A.12 B.8 C.-8 D.2
4.在中，，则是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【答案及解析】
一、知识填空
1.夹角
2. 任意
3.数量积 内积
4.
5.投影
6.投影的数量
二、思维拓展
1.若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
2.主要利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及，的值，然后代入求解，也可以寻找，，三者之间的关系，然后代入求解．
三、基础练习
1.答案：A
解析：因为等边三角形ABC的边长为2，所以.
2.答案：D
解析：a在b上的投影的数量是，故选D.
3.答案：A
解析：由题意得，又，所以.故选A.
4.答案：C
解析：因为，所以，所以，又，所以，所以角A为钝角，所以为钝角三角形，故选C.
