9.1.2 余弦定理
——高一数学人教B版（2019）必修第四册课前导学
知识填空1.余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角 的2倍. 即 ， ， .
2.余弦定理的推论： ，， .
思维拓展1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法有哪些？
2.已知三边求角的基本思路是什么？
基础练习1.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则( )
A. B. C.5 D.6
2.在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边.若，，，则边( )
A. B.或 C.或 D.
3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则一定是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
4.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积为，则角( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，则_________________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.余弦的积
2.
二、思维拓展
1.（1）当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解；
（2）当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，要注意解的情况的讨论.
2.利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为
钝角，结果唯一.
三、基础练习
1.答案：A
解析：由余弦定理可得，所以.故选A.
2.答案：C
解析：因为，，，由余弦定理可得，即，即，解得或.故选C.
3.答案：D
解析：由余弦定理可知，而，，所以，即.所以.又，所以一定是等边三角形.故选D.
4.答案：C
解析：由余弦定理可得，而三角形面积为，故，整理得到，又，故.故选C.
5.答案：3
解析：由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）.9.1.1 正弦定理
——高一数学人教B版（2019）必修第四册课前导学
知识填空1.三角形的面积公式：一般地，若记的面积为S，则 .
2.正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的 的比相等，即
.
3.解三角形：三角形的3个角与3条边都称为三角形的 ，已知三角形的若干元素求
一般称为解三角形.
思维拓展1.已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解的步骤是什么？
2.利用正弦定理判断三角形形状的方法有哪些？
基础练习1.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则( )
A. B.2 C. D.4
2.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，且，，则( )
A.30° B.60° C.150° D.120°或60°
3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则( )
A.或 B. C. D.
4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知在中，内角所对的边分别为a，b，c.若，则的形状为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
【答案及解析】
一、知识填空
1.
2.正弦
3.元素 其他元素
二、思维拓展
1.（1）求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值.
（2）求角：根据该正弦值求角时，要根据大边对大角或三角形内角和定理，去判断解的情况（无解、一解或两解），再根据内角和定理求第三角.
（3）求边：根据正弦定理求第三条边的长度.
2.（1）化边为角：根据题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.
（2）化角为边：根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系，进而确定三角形的形状.
三、基础练习
1.答案：A
解析：已知，，，由正弦定理可得，则，故选A.
2.答案：D
解析：已知，则有，所以.因为，所以或.故选D.
3.答案：C
解析：由正弦定理，得.由得，，故，故选C.
4.答案：D
解析：因为C为三角形的内角，所以，所以的面积，故选D.
5.答案：C
解析：，由正弦定理可知，即，.，，则.故选C.9.2 正弦定理与余弦定理的应用
——高一数学人教B版（2019）必修第四册课前导学
思维拓展1.测量高度问题的解题思路是什么？
2.求解测量距离问题的方法有哪些？
3.测量角度问题时需要注意什么？
基础练习1.前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔.现有一个斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为( )
A. B. C. D.
2.海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为( )
A. B. C. D.
3.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑.如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得，，，在点B处测得塔顶T的仰角为，则塔高OT为( )
A. B. C. D.
4.一艘海盗船从C处以的速度沿着南偏东的方向前进，在C点北偏东且距离为的A处有一海警船，沿着南偏东的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、思维拓展
1.对于底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题，先用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题，这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间中构造三棱锥，再依据条件，利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量的物体的高度.
2.选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解，构建数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中.
3.测量角度问题常涉及“方向角”“方位角”的问题，需明确两种角的含义，确定方向角或方位角时，一般都需作出方向线互相垂直的虚线，然后将要求的角落实到某个三角形中，通过正弦定理或余弦定理求出该角的某个三角函数值.
二、基础练习
1.答案：A
解析：如图所示，线段AC为塔身长，线段AB为投影长度，，所以在中，，因为，所以，故选A.
2.答案：D
解析：如图，由题意得，，，则，所以，所以，即B，C间的距离为.故选D.
3.答案：A
解析：依题意，，在中，，即，解得.在中，，即.故选A.
4.答案：D
解析：如图，设在B处两船相遇，则由题意可得，，则，是等腰三角形，则，所以海盗船需到达B处.在中，由余弦定理得，则海警船每小时至少航行，即速度至少为.故选D.
