人教版八年级数学下册 17.1 勾股定理 同步练习（含解析）

17.1 勾股定理
一、单选题
1．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）

A． B． C．2 D．
2．已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A． B． C． D．大小无法确定
3．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
5．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
7．如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
9．如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（ ）
A．6 cm B．7 cm C ． D．8cm
10．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（　　）
A． B．3 C．3 D．3
二、填空题
11．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．

12．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）．
13．如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．

14．如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．

15．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．

16．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
17．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）

18．如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．

三、解答题
19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段关于直线对称的线段；
（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
20．如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
（1）求证：；
（2）若时，求的长；
（3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
21．如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
22．如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
23．如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求的面积．
答案：
一、单选题
1．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
解：如图，在中，，

∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
2．C
【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案．
解：如下图，
∵为直角三角形的三边，且。
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故选：C．
3．D
【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
解：过点D作于M，如图，
由勾股定理可求得，
由题中作图知，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为为；
故选：D．

4．C
【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D．
解：由作图方法可知，是的角平分线，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，故B结论正确，不符合题意；
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，故D结论正确，不符合题意；
故选C．
5．C
【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
解：如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，
，
；
如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，
过点C作CD⊥AB1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，
故选：C．
6．D
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积．
故选：D．
7．A
【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．
解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，
故选：A．
8．B
【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．
解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，
∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得：，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，
故选：B．
9．D
【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明，即可证明，进一步计算即可得出答案．
解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，
∵，，
∴，
∴，
在和中；
，
∴，
∴BF=CG，
∵，
∴均为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．B
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
解：
AB＝AC，
,
故选B.
二、填空题
11．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．
解：∵是的角平分线，，分别是和的高，，
∴，
又，
∴，
设点E到直线的距离为x，
∵，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值．
解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，
，为直角边，为斜边，
，
，
得到，
，
，
是大于1的奇数，
．
故答案为：．
13．4
【分析】利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题.
解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，
∴垂直平分,即，
∴，
又∵在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中，
∴，
在 ADE中，，
故答案为：4．
14．
【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解．
解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；
故答案为．
15．
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．
解：如图：过点作于点，

，
由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
16．50
【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
解：如图，根据题意，得，，，，

∵
∴
∴
∴在中，
即A，C两港之间的距离为50 km．
故答案为：50
17．10
【分析】如图（见分析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
故答案为：10．
18．
【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长．
解：，
，
点D为的中点，
，
又，
，
，
中，，，
，
．
故答案为：．
三、解答题
19．
（1）解：如图所示，线段即为所求；

（2）解：如图所示，线段即为所求；

（3）解：如图所示，点即为所求

如图所示，

∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴垂直平分．
20．
（1）解：由题意，可知，，．
．
即．
．
（2）在中，，
．
．
，
，．
．
．
在中，．
（3）由（2）可知，．
当最小时，有的值最小，此时．
为等腰直角三角形，
．
．
即的最小值为．
21．
解：（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

22．
（1）解：∵
∴，
∵
∴
即；
（2）证明：如图所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
（3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，

∵，，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，

即，
∴，
又，则，
在中，
，
∴，
∴
23．
（2）解：过点P作，如图所示，

由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；