宁夏固原市西吉中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

宁夏固原市西吉中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 480° =( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
1
2.函数 ( ) = 的零点所在区间是( )

1 1
A. (0, ) B. ( , 1) C. (1,2) D. (2,3)
2 2

3.已知 为第三象限角，则 是( )
2
A. 第一或第二象限角 B. 第三或第四象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四
象限角
√ 3
4.设 = ，则 =( )
4
13 13 13 13
A. B. C. D.
16 32 32 16
5.下列关系式中正确的是( )
A. 11° < 168° < 10° B. 168° < 11° < 10°
C. 11° < 10° < 168° D. 168° < 10° < 11°
5
6.已知 是第二象限角， = ，则 =( )
12
12 12 5 5
A. B. C. D.
13 13 13 13
7.已知 ( )是 上的偶函数且满足 ( + 3) = ( )，若 (1) > 7， (2021) = 4 + 3 ，则实数 的取值范围
为( )
A. (0, +∞) B. (1, +∞) C. ( ∞, 0) D. ( ∞, 1)
8.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面
中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 1，圆面中剩余部分的面积为 2，当 1与
2的比值为
√ 5 1时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数
2
为( )
A. (3 √ 5) B. (√ 5 1) C. (√ 5 + 1) D. (√ 5 2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11
9.下列选项中，与sin( )的值相等的是( )
6
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A. 2 15° 75° B. 18° 42° 18° 42°
C. 2 2
tan22.5°
15° 1 D.
1 222.5°
10.函数 ( ) = ( + )( > 0, | | < )的部分图象如图所示，则( )
A. = 2

B. =
3
5
C. ( )的单调递减区间[ + 2 , + 2 ]( ∈ )
12 12

D. ( )图象的对称轴方程为 = + ( ∈ )
12 2
11.已知函数 ( ) = 2(
2 + 4 + 8)， ∈ ，则下列说法正确的是( )
1
A. 若函数 ( )的定义域为( ∞, +∞)，则实数 的取值范围是( , +∞)
2
B. 若函数 ( )的值域为[2, +∞)，则实数 = 2
4 2
C. 若函数 ( )在区间[ 3, +∞)上为增函数，则实数 的取值范围是( , ]
9 3
3
D. 若 = 0，则不等式 ( ) < 1的解集为{ | < }
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
√ 3
12.若sin( ) = ，则cos( + ) =______．
6 3 3
4
13.函数 = cos(2 + )的图象关于( , 0)中心对称，那么| |的最小值为______．
3
14.函数 = + + 2 + 2的值域是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 = 3．
(1)求3 2 cos2 的值；

3 ( + )+cos( + )
(2)求 2 的值．
sin(3 ) cos( )
16.(本小题12分)

将 ( ) = 的图像横坐标缩小到原来的一半，再向左平移 个单位得到 = ( )的图像．
12
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(1)写出 ( )的解析式；

(2)求 ∈ [ , ]时 ( )的值域．
6 4
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 ，始边为 轴的正半轴，终边与单位圆 的交点分
√ 2 √ 5
别为 ， .已知点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ．
10 5
(1)求sin( + )的值；
(2)求 + 2 的值．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2√ 3 2 2 + 1．
(1)求函数 ( )的最小正周期；

(2)设 ( ) = ( + ) + 1．
6
①求函数 = ( )的单调递增区间；

②当 ∈ [ , ]时，求不等式 ( ) ≤ 1的解集．
2 2
19.(本小题12分)
1
( ) = (4 4 + 1) 为偶函数， ( ) = ( + )． 2
(1)求实数 的值；
(2)若 ∈ [ 2,0]时，函数 ( )的图象恒在 ( )图象的上方，求实数 的取值范围；
(3)求函数 = 4 ( )+ + (2 +2)在 ∈ [ 1,2]上的最大值与最小值之和为2020，求实数 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 3
12.【答案】
3

13.【答案】
6
3
14.【答案】[ , 3 + √ 2]
4
3 2 cos2 3 2 1 3×32 1 13
15.【答案】解：(1)原式= 2 = 2 = = ； sin +cos2 tan +1 32+1 5
3 3+ 3+3
(2)原式= = = = 3．
sin cos 1 tan 1 3

16【. 答案】解：(1)将 ( ) = 横坐标缩小到原来的一半，得到 = 2 .再向左平移 个单位，得到 ( ) =
12

cos(2 + )，
6
2
(2)当 ∈ [ , ]时，2 + ∈ [ , ]，
6 4 6 6 3
1 1
所以cos(2 + ) ∈ [ , 1]，即 ≤ ( ) ≤ 1；
6 2 2
1
因此 ( )的值域为[ , 1]．
2
√ 2 √ 5
17.【答案】解：(1)利用三角函数的定义可得 = ， = ，
10 5
又 、 是锐角，
7√ 2 2√ 5
所以 = √ 1 cos2 = ， = √ 1 sin2 = ，
10 5
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3√ 10
所以sin( + ) = + = ．
10
4 3
(2)因为 2 = 2 = ， 2 = 2 2 1 = > 0，
5 5
又 是锐角，则0 < 2 < ，

所以0 < 2 < ，
2

又因为0 < < ，则0 < + 2 < ，
2
√ 2
而cos( + 2 ) = 2 2 = ，
2
3
所以 + 2 = ．
4

18.【答案】解：(1) ( ) = 2√ 3 2 2 + 1 = √ 3 2 + 2 = 2 (2 + )．
6
2
函数 ( )的最小正周期为 = = ；
2

当 = + ， ∈ ， ( )取得最大值2；
6

(2)① ( ) = ( + ) + 1 = 2 (2 + ) + 1 = 2 2 + 1，
6 2

令 + 2 ≤ 2 ≤ 2 ， ∈ ，整理得： + ≤ ≤ ， ∈ ，
2

所以函数 ( )的单调递增区间是[ + , ]， ∈ ；
2

② ( ) ≤ 1 2 2 ≤ 0， ∈ [ , ]，
2 2

2 ∈ [ , ]，所以 ≤ 2 ≤ 或 ≤ 2 ≤ ，
2 2

得 ≤ ≤ 或 ≤ ≤
2 4 4 2

所以不等式 ( ) ≤ 1的解集是[ , ] ∪ [ , ]．
2 4 4 2
19.【答案】解：(1) ∵函数 ( ) = 4(4
+ 1) 为偶函数，
∴ ( ) = ( )，
∴ 4(4
+ 1) + = 4(4
+ 1) ，
4 +1
得2 = 4(4
+ 1) 4(

4
) = 44 = ，
1
解得2 = 1，即 = ．
2
(2)若 ∈ [ 2,0]时，函数 ( )的图像恒在 ( )图像的上方，
则 ( ) > ( )恒成立，
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1 1 1
即 4(4
+ 1) > ( + )，即 4(4
+ 1) > ．
2 2 2
1 4 +1 1
所以 < 4(4 + 1) 44
=
2 4 4
= 4(1 + )． 4
1 1 1
因为 ∈ [ 2,0]时， 4(1 + ) > 4(1 +4 40
) = ，
2
1 1
所以 < ，得 < 1，
2 2
综上： ∈ ( ∞, 1)．
(4 +1) 1 1 1(3) = 4 4 + (2 +2 + ) = (4 + 1) + 2 +1 + = (2 1)2 + ，
2 2 2
1
所以当 ∈ [ 1,2]时，2 ∈ [ , 4]
2
1 1当 2 = 1时，取得最大值 ，当2 = 4取得最小值 9 + ，
2 2
1 1
所以 9 + = 2020，
2 2
解得 = 2029．
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