10.3.3 实际问题与二元一次方程组 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
10.3 实际问题与二元一次方程组
行程问题
甲、乙两人相距42km,若两人同时相向而行，可在6h后相遇；而若两人同时同向而行，乙可在14h后追上甲。求甲、乙两人的速度。
分析：题中等量关系为：
相遇问题，即甲走6h的路程+乙走6h的路程=42；
追及问题，即乙走14h的路程=甲走14h的路程+42.
解：设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h.
可列方程为
6(x+y)=42,
14(y-x)=42,
解得
x=2,
y=5.
答：甲的速度为2km/h，乙的速度为5km/h。
变式训练
甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶.甲车长150m，乙车长250m.若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要10s；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要100s.求两列火车的速度。
分析：题中等量关系为：
相遇问题，即甲车走10s的路程+乙车走10s的路程=两车车长；
追及问题，即甲车走100s的路程-乙车走100s的路程=两车车长.
解：设甲车的速度为xkm/s,乙车的速度为ykm/s.
可列方程为
(x+y)×10=250+150,
(y-x)×100=250+150,
解得
x=22,
y=18.
答：甲车的速度是22km/s，乙车的速度是18km/h。
行程问题
某旅游船顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时行16km，求旅游船在静水中的航速及水流速度.
分析：题中等量关系为：
V顺=V船+V水；
V逆=V船-V水.
解：设船在静水中的速度为xkm/h,水流的速度为ykm/h.
可列方程为
x+y=20,
x-y=16,
解得
x=18,
y=2.
答：船在静水中的速度是18km/h,水流速度为2km/h。
变式训练
一艘轮船顺流航行时，每小时行32km;逆流航行时，每小时行28km,求轮船在静水中的速度。
解：设船在静水中的速度为xkm/h,水流速度为ykm/h.
可列方程为
x+y=32,
x-y=28,
解得
x=30,
y=2.
答：甲车的速度是30km/h，乙车的速度是2km/h。
分析：题中等量关系为：
V顺=V船+V水；
V逆=V船-V水.
生产中的配套问题
某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个.现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套。
分析：题中等量关系为：
生产A部件的人数+生产B部件的人数=16；
生产A部件的总数=生产B部件的总数.
解：设安排生产A部件和B部件的工人分别为x人，y人.
可列方程为
x+y=16,
1000x=600y,
解得
x=6,
y=10.
答：安排生产A部件和B部件的工人分别为6人，10人。
变式训练
为迎接新年，某工艺厂准备生产A、B两种礼盒，这两种礼盒主要用甲、乙两种原料，已知生产一套A礼盒需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒；生产一套B礼盒需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产A、B两种礼盒各多少套？
解：设该厂能生产A礼盒x套，
生产B礼盒y套.
可列方程为
4x+5y=20000,
3x+10y=30000,
解得
x=2000,
y=2400.
答：该厂能生产A、B礼盒各2000套、2400套。
分析：题中等量关系为：
4×A礼盒数量+5×B礼盒数量=20000；
3×A礼盒数量+10×B礼盒数量=30000.
工程问题
一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成.问两人每天各做多少个机器零件.
分析：题中等量关系为：
甲做12天的零件+乙做8天的零件=840个；
甲做9天的零件+乙做13天的零件=840个.
解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个零件.
可列方程为
(4+8)x+8y=840,
9x+(4+9)y=840,
解得
x=50,
y=30.
答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件。
变式训练
解得
x=3375,
y=18.
答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天。
分析：题中等量关系为：
150×y天=工作总量× ；
200×(y-1)天=工作总量+25套.
解：设订做的工作服是x套， 要求的期限是y天.
可列方程为
150y= x,
200(y-1)=x+25,
某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的 ；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
商品销售问题
一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%，如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？
分析：商品的利润涉及进价、标价和售价，设此商品的定价为x元，进价为y元，打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，列得方程0.9x-y=20%;打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.
解：设此商品的定价为x元，进价为y元.
可列方程为
0.9x-y=20%y,
0.8x-y=10,
解得
x=200,
y=150.
答：商品的定价为200元。
知识点：
(1)销售问题中的等量关系：
(2)提价问题中的等量关系：
变式训练
解得
x=600,
y=400.
答：甲商品的进价为600元，乙商品的进价为400元。
分析：题中等量关系为：
甲商品的利润+乙商品的利润=46元 ；
甲商品的利润+乙商品的利润=44元.
解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元.
可列方程为
5%x+4%y=46,
4%x+5%y=44,
有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
增长率问题
某城市现在人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市现在的城镇人口与农村人口。
分析：题中的等量关系为：
城镇人口+农村人口=42万；
城镇人口×(1+0.8%)+农村人口×(1+1.1%)=42×(1+1%)
解：设现在城镇人口为x万，农村人口为y万.
可列方程为
x+y=42,
(1+0.8%)x+(1+1.1%)y=42×(1+1%),
解得
x=14,
y=28.
答：现在城镇人口为14万，农村人口为28万。
变式训练
解得
x=2000,
y=1800.
答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元。
分析：题中等量关系为：
去年总产值-总支出=200万元；
今年的总产值-总支出=780万元.
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元.
可列方程为
x-y=200,
(1+20%)x-(1-10%)y=780,
某工厂去年的利润(总产值-总支出）为200万元.今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%.今年利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
储蓄问题
小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱.
解：设教育储蓄存款x元，存一年定期存款为y元.
可列方程为
x+y=2000,
(1+2.25%)x+[1+2.25%(1-20%)]y=2042.75,
解得
x=1500,
y=500.
答：教育储蓄存款1500元，一年定期存款500元。
教育储蓄 定期储蓄 合计
现在 x y 2000
一年后 (1+2.25%)x [1+2.25%(1-20%)]y 2042.75
变式训练
解得
x=2.25%,
y=0.99%.
答：两种储蓄的年利率分别是2.25%，0.99%。
分析：题中等量关系为：
两种储蓄的税后利息和=43.92元；
两种储蓄的年利率和=3.24%.
解：设两种储蓄的年利率分别是x、y.
可列方程为
x+y=3.24%,
(2000x+1000y)×80%=43.92,
李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元；已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，求这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息金额×20%）
数字问题
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.
可列方程为
x+y=68,
(100x+y)-(100y+x)=2178,
解得
x=45,
y=23.
答：这两个数是45和23。
分析：题中等量关系为：
两个两位数的和为68；
前一个数比后一个数大2178.
变式训练
解得
x=5,
y=6.
答：这个两位数为56。
分析：这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
则这个两位数表示为_________
解：设这个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y.
可列方程为
10x+y-3(x+y)=23,
10x+y=5(x+y)+1,
一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？
10x+y
年龄问题
今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
解：设现在的父亲的年龄为x岁，儿子的年龄为y岁.
可列方程为
x=5y,
x+6=3(y+6),
解得
x=30,
y=6.
答：现在父亲的年龄是30岁，儿子的年龄是6岁。
分析：6年后父子俩都长了6岁，题中等量关系为：
父亲的年龄是儿子的5倍；
6年后父亲的年龄是儿子的3倍.
变式训练
解得
x=12,
y=60.
答：今年小李的年龄是12岁。
分析：题中等量关系为：
今年小李年龄是爷爷年龄的 ；
12年后，小李的年龄是爷爷的 .
解：设今年小李的年龄为x岁， 则今年爷爷的年龄是y岁.
可列方程为
x= y,
x+12= (y+12),
和、差、倍、分问题
"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此，全体职工加班加点，"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内，"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
解：设原计划"爱心"帐篷厂生产帐篷x千顶，"温暖"帐篷厂生产y千顶.
可列方程为
x+y=9,
1.6x+1.5y=14,
解得
x=5,
y=4.
∴1.6x=1.6×5=8(千顶），
1.5y=1.5×4=6(千顶）
分析：题中等量关系为：
"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂原计划每周生产9千顶帐篷；
灾区急需14千顶，一周内制作帐篷数分别达到原来的1.6倍和1.5倍.
变式训练
解得
x=33,
y=86.
答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加。
分析：题中等量关系为：
中国去年和今年共119个城市参加活动；
今年参加活动的城市个数=去年的3倍-13个.
解：设中国内地去年、今年分别有x、y个城市参加了此项活动.
可列方程为
x+y=119,
y=3x-13,
"地球一小时"是每年3月最后一个星期六20时30分～21时30分熄灯一小时.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.
几何问题
小明用8个完全相同的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了连长是1的正方形小洞.(1)设每个小方形的宽为x，由图乙可知每个小长方形的长可表示为__________.(2)求小长方形的长和宽.
分析：题中等量关系为：
由图乙知，3×长度=5×宽度；
根据两图中长与宽的数量关系得方程.
(2)依题得：2x-1= x
解得x= ×3
x=5
变式训练
解得
x=15,
y=9.
答：正方形的面积比矩形面积大9cm2
分析：题中等量关系为：
周长为48cm；
长边-3cm=短边+3cm.
解：设长方形的长边为xcm，宽为ycm.
可列方程为
2(x+y)=48,
x-3=y+3,
用长48cm的铁丝弯成一个长方形，若将长方形的长边剪掉3cm，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比长方形的面积大多少？
优化方案类问题
某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案.
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
分析：方案一：把140吨蔬菜全部粗加工，每吨获利4500元；
方案二：15天精加工，每天加工6吨，每吨获利7500；
剩下的50吨直接销售，每吨获利1000元；
方案三：精加工天数+粗加工天数=15，
精加工吨数+粗加工吨数=140.
解：①方案一获利为：4500×140=630000(元）
②方案二获利为：
7500×(6×15)+1000×(140-6×15)=675000+50000=725000(元).
③设x天进行粗加工，
y天进行精加工.
由题意得，
x+y=15,
16x+6y=140,
解得
x=5
y=10
∴方案三获利为：
7500×6×10+4500×16×5=810000(元)
∵810000＞725000＞630000
∴选择方案三获利最多.
（2019秋 宁都县期末）（应用题）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元， 请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机 可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两 种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种 进货方案？
变式训练
(2)方案一：
25×150＋25×200＝8750．
方案二：
35×150＋15×250＝9000元．
答：购甲种电视机25台，
乙种电视机25台；
或购甲种电视机35台，
丙种电视机15台．
购买甲种电视机35台，
丙种电视机15台获利最多．
x＋y＝50
1500x＋2100y＝90000
解得
x＝25
y＝25．
解：（1）解分三种情况计算：
①设购甲种电视机x台，乙种电视机y台．
②设购甲种电视机x台，丙种电视机z台．
则
x＋z＝50
1500x＋2500z＝90000，
解得：
x＝35
z＝15．
③设购乙种电视机y台，丙种电视机z台．
则
y＋z＝50
2100y＋2500z＝90000
解得：
y＝87.5
z＝ 37.5（不合题意，舍去）；
图表信息题问题
根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．
解：设梅花鹿的高度是xm，长颈鹿 的高度是ym，
根据题意得：
x＋4＝y
3x＋1＝y，
答：梅花鹿的高度是1.5m，
长颈鹿的高度是5.5m．
解得：
x＝1.5
y＝5.5，
小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜，2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．下面是这一家三口的对话，请根据对话解决小明想要知道的信息：
妈妈:"今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元．"
爸爸:"报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%；"小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
变式训练
今天萝卜的单价是：
2×（1＋50%）＝3元/斤，
排骨的单价是：
15×（1＋20%）＝18元/斤．
答：今天萝卜的单价是3元/斤，
排骨的单价是18元/斤．
3x＋2y＝36
3(x＋50%x)＋2(y＋20%y)＝45，
解：设上月萝卜的单价是x元/斤，
排骨的单价y元/斤，根据题意得
解得．
x＝2
y＝15