1.3 第2课时 平方差公式的应用 导学案 （含答案） 2024-2025北师大版七年级数学下册

1.3 第2课时 平方差公式的应用
【素养目标】
1.能利用几何图形的面积验证平方差公式,了解平方差公式的几何意义.
2.会运用平方差公式进行简单的简便运算.
【重点】
运用平方差公式进行简便运算.
【自主预习】
什么是平方差公式
【参考答案】
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,即(a+b)(a-b)=a2-b2.
1.计算(a+5)(a-5)的结果是 (　　)
A.a2-10 B.10-a2
C.25-a2 D.a2-25
2.(纸片剪拼)在数学活动课上,小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形,剩余部分沿虚线剪开,拼成新的图形.现给出下列3种不同的剪、拼方案,其中能够验证平方差公式的方案是　　　　.(请填上正确的序号)
【参考答案】
1.D　2.①②
【合作探究】
平方差公式的几何背景
阅读课本第19页“例3”之前的内容,回答下列问题.
思考:(1)如何表示课本“图1-7”中的阴影面积
　　　　
(2)课本“图1-8”中的阴影部分是个长方形,长方形的长是　　　　,宽是　　　　,面积为　　　　.
(3)由于“图1-8”是由“图1-7”裁剪、拼接而成的,阴影部分面积　　　　,我们可以得到　　　　=　　　　.
【参考答案】
(1)大正方形减去小正方形得a2-b2.
(2)a+b　a-b　(a+b)(a-b)
(3)相同　a2-b2　(a+b)(a-b)
　　我们可以用几何图形验证平方差公式,体现了　　　　的数学思想.
【参考答案】
数形结合
从前,一位庄园主把一块边长为2a m的正方形土地租给租户李老汉.第二年,他对李老汉说:“我把这块地的一边增加b(b<2a) m,相邻的另一边减少b m,变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何 ”如果这样,你觉得李老汉的租地面积会 (　　)
A.减少a2 m2 B.减少b2 m2
C.增加b2 m2 D.保持不变
【参考答案】
B
平方差公式简化运算
阅读课本第19页“例3”“例4”和第20页“观察·思考”的内容,回答下列问题.
1.课本“观察·思考(1)”中的三个算式,7×9=(8-　　　　)×(8+　　　　),11×13=(12-　　　　)×(12+　　　　),79×81=(80-　　　　)×(80+　　　　).
2.运用平方差公式,可知7×9=82-1　　　　82;11×13=122-1　　　　122;79×81=802-1　　　　802.(填“小于”“大于”或“等于”)
总结:(a+1)(a-1)　　　　a2.(填“小于”“大于”或“等于”)
【参考答案】
1.1　1　1　1　1　1
2.小于　小于　小于　小于
　　有关整式的混合运算(如乘、加、减),一般先算　　　　,再算　　　　,同时注意观察算式的特点,合理地使用　　　　可使运算简便.
【参考答案】
　乘　加减　乘法公式
在等式(-a-b)(　　)=a2-b2中,括号里应填的多项式是 (　　)
A.b-a B.a+b
C.-a-b D.a-b
【参考答案】
A
平方差公式的验证
例1　在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b),再沿虚线剪开,如图1,然后
拼成一个梯形,如图2,那么分别计算两个图中阴影部分的面积,可以验证成立的公式是　　　　.
变式训练
从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图1),然后拼成一个平行四边形,这可以验证什么公式
　　　　
【参考答案】
例1　(a+b)(a-b)=a2-b2
变式训练
解:可以验证平方差公式:题图1中的四个梯形的面积为a2-b2,这四个梯形组成了如题图2中的平行四边形,一条边长为a+b,其高为a-b(由题图1得),故平行四边形的面积为(a+b)(a-b),由此可验证(a+b)(a-b)=a2-b2.
用平方差公式计算
例2　利用平方差公式进行计算:2 012×1 988.
　　　　
变式训练
计算1 999×2 001-2 0002的结果是 (　　)
A.-1 B.1
C.2 021 D.-2 021
【参考答案】
例2　解:2 012×1 988=(2 000+12)×(2 000-12)=2 0002-122=4 000 000-144=3 999 856.
变式训练　A