1.3 第3课时 完全平方公式的认识 导学案 （含答案）2024-2025北师大版七年级数学下册

1.3 第3课时 完全平方公式的认识
【素养目标】
1.熟记完全平方公式的结构特征,并能运用完全平方公式进行计算.
2.经历完全平方公式的推导过程,了解公式的几何背景,发展学生的符号感和推理能力.
【重点】
理解完全平方公式的推导过程,并能正确运用完全平方公式进行计算.
【自主预习】
1.多项式与多项式是如何相乘的
　　　　
2.填空:(a+3)2=　　　　·　　　　=　　　　=　　　　.
【参考答案】
1.先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
用字母表示:(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.
2.(a+3)　(a+3)　a2+3a+3a+9　a2+6a+9
1.下列计算结果错误的是 (　　)
A.(x+1)(x+4)=x2+5x+4
B.(m-2)(m+3)=m2+m-6
C.(y+4)(y-5)=y2+9y-20
D.(x-3)(x-6)=x2-9x+18
2.计算(x+1)2的结果是 (　　)
A.x2-x+1 B.x2-2x+1
C.x2-x-1 D.x2+2x+1
【参考答案】
1.C　2.D
【合作探究】
代数推导完全平方公式
阅读课本本课时所有内容,解决下列问题.
算一算:根据多项式乘以多项式的法则写出下面的结果.
(1)(a+b)2=(a+b)(a+b)=　　　　;
(2)(a-b)2=(a-b)(a-b)=　　　　.
【参考答案】
(1)a2+2ab+b2
(2)a2-2ab+b2
　　上面两个公式,称为　　　　公式.
【参考答案】
　完全平方
利用公式计算(-x-2y)2的结果为 (　　)
A.-x2-2xy-4y2 B.-x2-4xy-4y2
C.x2-4xy+4y2 D.x2+4xy+4y2
【参考答案】
D
几何验证完全平方公式
阅读课本本课时所有内容,解决下列问题.
思考: 完全平方公式的几何解释.
(1)如图,有一个边长为a的正方形广场,现要扩建该广场,要求将其边长增加b.
①图中四块方形的面积分别为　　　　;
②若用两种方法表示广场的总面积,从整体看,边长为　　　　的大正方形面积S=　　　　;从部分看,四块方形的面积之和S=　　　　,由此得到结论:　　　　.
(2)观察下列图形,由图形的面积关系得到如下等式:(a-b)2=　　　　.
【参考答案】
(1)①a2,ab,b2,ab
②a+b　(a+b)2　a2+2ab+b2　(a+b)2=a2+2ab+b2　(2)a2-2ab+b2
　　完全平方公式:(a　　　　b)2=a2+2ab+b2,(a　　　　b)2=a2-2ab+b2.
【参考答案】
　+　-
学法指导:应用完全平方公式时应注意整体思想的运用,公式中的a,b可以是数、单项式、多项式.
现有如图1所示的正方形卡片A,B和长方形卡片C若干张,如果选择卡片A,B各1张,和2张长方形卡片C,就可以拼成一个如图2所示的边长为(a+b)的大正方形.现在要拼一个边长为(2a+3b)的大正方形,则需要卡片A的张数为 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【参考答案】
B
完全平方公式在计算中的应用
例1　运用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2;(2)y-2.
变式训练
下列多项式乘法中可以用完全平方公式计算的有 (　　)
①(-a+b)(a-b);②(x+2)(2+x);③x+y·y-x;④(x-2)(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【参考答案】
例1　解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2.
(2)y-2=y2-2·y·+2=y2-y+.
变式训练　B
完全平方公式的逆用
例2　若4x2+kx+1是一个数的平方,则k=　　　　.
变式训练
多项式4x2+1加上一个单项式后,使它成为一个整式的平方,那么加上的单项式可以是　　　　(填上一个你认为正确的即可).
【参考答案】
例2　±4
变式训练
4x或-4x或4x4
完全平方公式与整体代入法的综合应用
例3　已知a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值.
　　　　
变式训练
已知x2+y2=4,xy=2,则(x+y)2的值为 (　　)
A.8 B.10 C.12 D.14
【参考答案】
例3　解:因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=25+12=37.
变式训练　A