1.3 第4课时 完全平方公式的应用 导学案（含答案） 2024-2025北师大版七年级数学下册

1.3 第4课时 完全平方公式的应用
【素养目标】
1.能运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.
2.能用完全平方公式和平方差公式简化综合运算.
【重点】
能运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.
【自主预习】
1.回忆完全平方公式.
2.将一块边长为a米的正方形广场进行扩建,扩建后的正方形边长比原来长2米,则扩建后广场面积增大了　　　　平方米.
【参考答案】
1.两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
用字母表示:(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
2.(4a+4)
如图(单位:厘米),将一个正方形的边长增加1.3厘米,用含有字母的式子表示“增加的面积”,其中错误的是 (　　)
A.1.3a×2+1.32 B.(a+1.3)2-a2
C.1.3×(a+1.3)×2 D.(a+a+1.3)×1.3
【参考答案】
C
【合作探究】
用完全平方公式简化数的运算
阅读课本第23页“例6”之前的内容,回答下列问题.
1.思考:为什么将1022转化为(100+2)2,1972转化为(200-3)2
　　　　
2.分析:利用完全平方公式简便计算89.22,下列变形最恰当的是 (　　)
A.(89+0.2)2
B.(90-0.8)2
C.(100-10.8)2
D.(80+9.2)2
【参考答案】
1.可以利用完全平方公式简化运算,1002与2002口算即可.
2.B
　　完全平方公式用于简便运算时,关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数,再将原数变形成　　　　或者　　　　的形式,使之符合公式的特点,再用　　　　进行求解.
【参考答案】
　(a+b)2　(a-b)2　完全平方公式
利用完全平方公式计算992,下列变形最恰当的是 (　　)
A.(100-1)2 B.(101-2)2
C.(98+1)2 D.(50+48)2
【参考答案】
A
乘法公式的综合运用
阅读课本第23页“例6”和第24页“观察·思考”的内容,回答下列问题.
1.讨论:(1)在“例6(1)”中,计算(x+3)2利用了什么公式
　　　　
2.思考:
(1)图1-12中,1×1点阵中的点数为　　　　,2×2点阵中的点数为　　　　,3×3点阵的点数为　　　　,3×3点阵中的点数与1×1点阵、2×2点阵中的点数之和　　　　.
(2)若把2×2点阵看成m×m点阵,把3×3看成n×n点阵,则(m+n)(m+n)点阵应为　　　　点阵,点阵中的点数为　　　　,(m+n)(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和　　　　.
(3)你能用所学的公式解释这个结论吗
　　　　
【参考答案】
1.完全平方公式.
2.(1)1　4　9　不相等
(2)5×5　25　不相等
(3)(m+n)(m+n)=m2+2mn+n2.
　　乘法公式的本质就是运用总结出来的规律性结果,　　　　整式运算.
【参考答案】
　简化
设一个正方形的边长为a cm,若其边长增加了4 cm,则新正方形的面积增加了 (　　)
A.(8a+16)cm2 B.8a cm2
C.16 cm2 D.4a cm2
【参考答案】
A
用完全平方公式进行简便运算
例1　用简便方法计算:
2 0252-4 048×2 025+2 0242.
　　　　
变式训练
利用完全平方公式进行计算:1252+250×75+752.
　　　　
【参考答案】
例1　解:2 0252-4 048×2 025+2 0242
=2 0252-2×2 024×2 025+2 0242
=(2 025-2 024)2
=1.
变式训练
解:原式=1252+2×125×75+752=(125+75)2=2002=40 000.
完全平方公式在化简求值中的应用
例2　先化简,再求值:(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)2,其中a=-1,b=2.
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
变式训练
先化简,再求值:(x-2y)2-(2y+x)(-2y+x),其中x=1,y=-.
【参考答案】
例2　解:(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)2
=4a2-b2+3(4a2-4ab+b2)
=4a2-b2+12a2-12ab+3b2
=16a2-12ab+2b2,
把a=-1,b=2代入得
原式=16×(-1)2-12×(-1)×2+2×22=48.
变式训练
解:(x-2y)2-(2y+x)(-2y+x)
=(x2-4xy+4y2)-(x2-4y2)
=x2-4xy+4y2-x2+4y2
=-4xy+8y2,
当x=1,y=-时,
原式=-4×1×-+8×-2=2+2=4.