甘肃省白银市会宁县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·会宁期中）已知向量，且 ，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
又因为，所以，即向量与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】根据向量的夹角公式计算即可.
2．（2024高一下·会宁期中）若复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为复数为纯虚数，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】利用复数的代数形式除法运算化简，再根据纯虚数的概念列式求解即可.
3．（2024高一下·会宁期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式和倍角公式化简即可.
4．（2024高一下·会宁期中）平行四边形（是原点，按逆时针排列），，则点坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算；相等向量
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以，
又因为O为原点，所以.
故答案为：A.
【分析】根据四边形是平行四边形，由求解即可.
5．（2024高一下·会宁期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
因为，所以，
则由正弦定理得.
故答案为：B．
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理求解即可.
6．（2024高一下·会宁期中）在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得，即.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的面积公式求解即可.
7．（2024高一下·会宁期中）如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意及图得，，，
则，
因为，，所以．
故答案为：B.
【分析】由图求出的正切值，再利用两角和的正切公式求的正切值，即可得的度数.
8．（2024高一下·会宁期中）已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：已知向量，因为与的夹角的余弦值为，
设与的夹角为，所以，，
所以，则实数的值为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而得出满足要求的实数t的值.
9．（2024高一下·会宁期中）某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ）
A．的值为0.015，的值为40
B．平均分为72，众数为75
C．中位数为75
D．已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人
【答案】A,B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、由图可知，，，，
，，，
由频率之和为1可得，故；
因为，所以，故A正确；
B、由图可知，众数为75；
平均数为，故B正确；
C、，所以中位数位于区间，
设中位数为，则，解得，故C错误；
D、样本可以估计总体，但是不能通过样本直接确定总体，样本与总体之间总是存在一定的偏差，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由各组的频率之和为1可得的值；由区间的人数以及频率可得；众数看图可得，中位数通过计算判断即可.
10．（2024高一下·会宁期中）已知直角三角形中，，，则实数k的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：当角A为直角时，，解得：，故A正确；
当角B为直角时，，
则有，解得：，故C正确；
当角C为直角时，，
解得：，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分类讨论，角A，角B，角C分别为直角时，根据向量数量积为0列出方程求实数k的值即可.
11．（2024高一下·会宁期中）设函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递减
C．的最大值为2 D．的图象关于直线对称
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
A、，所以是偶函数，故A正确；
B、令，，得，，
当时，，∴在上单调递减，故B正确；
C、当，即时，有最大值，故C错误；
D、，是最小值，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】先利用辅助角公式化简为，再根据余弦函数的性质逐项判断即可.
12．（2024高一下·会宁期中）已知，则的值为 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：.
【分析】利用余弦的二倍角公式求值即可.
13．（2024高一下·会宁期中）已知平面向量满足，与的夹角为，则的值 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，与的夹角为，
所以，，，
则.
故答案为：.
【分析】先根据平面向量数量积的定义计算；再根据求向量模长的方法结合向量数量积的运算法则求解即可.
14．（2024高一下·会宁期中） .
【答案】1
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：1.
【分析】根据诱导公式，以及两角和的正弦公式求解即可.
15．（2024高一下·会宁期中）已知，，求以及的值．
【答案】解：因为，所以，，
，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】由题意，利用同角三角函数基本关系得到，，再根据和差公式求和的值即可.
16．（2024高一下·会宁期中）已知为第二象限角，且满足．求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：若为第二象限角，则，
因为，所以，
则；
（2）解：.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由题意，利用同角三角函数基本关系解出与，代入求值即可；
（2）利用两角和的余弦公式展开求值即可．
（1）若为第二象限角，则．
又因为，故．
．
（也可以由得，．）
（2）.
17．（2024高一下·会宁期中）已知复数 ，且 为纯虚数.
（1）求复数 ；
（2）若 ，求复数 以及模 .
【答案】（1）解：将 代入 得 ，因为 为纯虚数,所以 解得 ，所以复数
（2）解：由(1)知 ，所以 ，
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简再由复数的概念即可求出b的值，由此即可得出复数z。
(2)由(1) 的结论整理复数，再由复数代数形式的乘除运算性质，以及复数模的定义计算出结果即可。
18．（2024高一下·会宁期中）已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知均为锐角，，求的值.
【答案】（1）解：，
则，即函数的最小正周期为；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据正弦二倍角公式和降幂公式直接化简函数，再结合三角函数的周期公式直接求解即可；
（2）根据已知条件求出，再根据正弦的差角公式求值即可.
（1），
所以，
即函数的最小正周期为
（2）因为，所以，
又因为，所以.
因为，所以，
所以
19．（2024高一下·会宁期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求：
（1）的值；
（2）的面积和边上的高．
条件①：，；
条件②：，．
【答案】（1）解：选条件①：由余弦定理，解得，
因为，所以，，
又因为中，，所以；
选条件②：因为中，，，
所以，，
则；
（2）解：选条件①：的面积为，
设边上的高为，则，则边上的高为；
选条件②：由第（1）问有，因为，为三角形内角，所以，，
则的面积为，
过作，垂足为，则为边上的高，
在直角中，，
则边上的高为.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选条件①：由余弦定理求出，得出，再求即可；
选条件②：第一问求出和，由和两角和的正弦公式求解；
（2）选条件①：直接使用公式求出三角形面积，借助面积求高即可；
选条件②：由得出，使用公式求出面积即可，作出边上的高，由直角三角形的三角函数求高即可.
（1）选条件①
由余弦定理，，∴，
又∵，∴，，
又∵中，
∴.
选条件②
∵中，，，
∴，，
∴
.
（2）选条件①
的面积为，
设边上的高为，则，
∴边上的高为.
选条件②
由第（1）问有，∵，为三角形内角，∴，∴，
∴的面积为，
过作，垂足为，则为边上的高，
在直角中，，
∴边上的高为.
1 / 1甘肃省白银市会宁县第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·会宁期中）已知向量，且 ，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·会宁期中）若复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2024高一下·会宁期中）（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·会宁期中）平行四边形（是原点，按逆时针排列），，则点坐标（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·会宁期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
6．（2024高一下·会宁期中）在中，，且的面积为，则（ ）
A． B．3 C．2 D．
7．（2024高一下·会宁期中）如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·会宁期中）已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·会宁期中）某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ）
A．的值为0.015，的值为40
B．平均分为72，众数为75
C．中位数为75
D．已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人
10．（2024高一下·会宁期中）已知直角三角形中，，，则实数k的值可以为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一下·会宁期中）设函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递减
C．的最大值为2 D．的图象关于直线对称
12．（2024高一下·会宁期中）已知，则的值为 .
13．（2024高一下·会宁期中）已知平面向量满足，与的夹角为，则的值 .
14．（2024高一下·会宁期中） .
15．（2024高一下·会宁期中）已知，，求以及的值．
16．（2024高一下·会宁期中）已知为第二象限角，且满足．求值：
（1）；
（2）．
17．（2024高一下·会宁期中）已知复数 ，且 为纯虚数.
（1）求复数 ；
（2）若 ，求复数 以及模 .
18．（2024高一下·会宁期中）已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知均为锐角，，求的值.
19．（2024高一下·会宁期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求：
（1）的值；
（2）的面积和边上的高．
条件①：，；
条件②：，．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
又因为，所以，即向量与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】根据向量的夹角公式计算即可.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为复数为纯虚数，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】利用复数的代数形式除法运算化简，再根据纯虚数的概念列式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用诱导公式和倍角公式化简即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算；相等向量
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以，
又因为O为原点，所以.
故答案为：A.
【分析】根据四边形是平行四边形，由求解即可.
5．【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
因为，所以，
则由正弦定理得.
故答案为：B．
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理求解即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得，即.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的面积公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意及图得，，，
则，
因为，，所以．
故答案为：B.
【分析】由图求出的正切值，再利用两角和的正切公式求的正切值，即可得的度数.
8．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：已知向量，因为与的夹角的余弦值为，
设与的夹角为，所以，，
所以，则实数的值为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而得出满足要求的实数t的值.
9．【答案】A,B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、由图可知，，，，
，，，
由频率之和为1可得，故；
因为，所以，故A正确；
B、由图可知，众数为75；
平均数为，故B正确；
C、，所以中位数位于区间，
设中位数为，则，解得，故C错误；
D、样本可以估计总体，但是不能通过样本直接确定总体，样本与总体之间总是存在一定的偏差，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由各组的频率之和为1可得的值；由区间的人数以及频率可得；众数看图可得，中位数通过计算判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：当角A为直角时，，解得：，故A正确；
当角B为直角时，，
则有，解得：，故C正确；
当角C为直角时，，
解得：，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分类讨论，角A，角B，角C分别为直角时，根据向量数量积为0列出方程求实数k的值即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
A、，所以是偶函数，故A正确；
B、令，，得，，
当时，，∴在上单调递减，故B正确；
C、当，即时，有最大值，故C错误；
D、，是最小值，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】先利用辅助角公式化简为，再根据余弦函数的性质逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：.
【分析】利用余弦的二倍角公式求值即可.
13．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，与的夹角为，
所以，，，
则.
故答案为：.
【分析】先根据平面向量数量积的定义计算；再根据求向量模长的方法结合向量数量积的运算法则求解即可.
14．【答案】1
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：1.
【分析】根据诱导公式，以及两角和的正弦公式求解即可.
15．【答案】解：因为，所以，，
，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】由题意，利用同角三角函数基本关系得到，，再根据和差公式求和的值即可.
16．【答案】（1）解：若为第二象限角，则，
因为，所以，
则；
（2）解：.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由题意，利用同角三角函数基本关系解出与，代入求值即可；
（2）利用两角和的余弦公式展开求值即可．
（1）若为第二象限角，则．
又因为，故．
．
（也可以由得，．）
（2）.
17．【答案】（1）解：将 代入 得 ，因为 为纯虚数,所以 解得 ，所以复数
（2）解：由(1)知 ，所以 ，
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意整理化简再由复数的概念即可求出b的值，由此即可得出复数z。
(2)由(1) 的结论整理复数，再由复数代数形式的乘除运算性质，以及复数模的定义计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：，
则，即函数的最小正周期为；
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据正弦二倍角公式和降幂公式直接化简函数，再结合三角函数的周期公式直接求解即可；
（2）根据已知条件求出，再根据正弦的差角公式求值即可.
（1），
所以，
即函数的最小正周期为
（2）因为，所以，
又因为，所以.
因为，所以，
所以
19．【答案】（1）解：选条件①：由余弦定理，解得，
因为，所以，，
又因为中，，所以；
选条件②：因为中，，，
所以，，
则；
（2）解：选条件①：的面积为，
设边上的高为，则，则边上的高为；
选条件②：由第（1）问有，因为，为三角形内角，所以，，
则的面积为，
过作，垂足为，则为边上的高，
在直角中，，
则边上的高为.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选条件①：由余弦定理求出，得出，再求即可；
选条件②：第一问求出和，由和两角和的正弦公式求解；
（2）选条件①：直接使用公式求出三角形面积，借助面积求高即可；
选条件②：由得出，使用公式求出面积即可，作出边上的高，由直角三角形的三角函数求高即可.
（1）选条件①
由余弦定理，，∴，
又∵，∴，，
又∵中，
∴.
选条件②
∵中，，，
∴，，
∴
.
（2）选条件①
的面积为，
设边上的高为，则，
∴边上的高为.
选条件②
由第（1）问有，∵，为三角形内角，∴，∴，
∴的面积为，
过作，垂足为，则为边上的高，
在直角中，，
∴边上的高为.
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