安徽省六安市太和中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（含答案）

安徽省六安市太和中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若将直线沿轴正方向平移个单位长度，再沿轴负方向平移个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
4.某部门为了了解一批树苗的生长情况，在棵树苗中随机抽取棵，统计这棵树苗的高度单位：，将所得数据分成组：，，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这棵树苗中高度小于的树苗棵数约是( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
6.已知角满足，则( )
A. B. C. D.
7.某学校有男生人，女生人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为小时，方差为，女生每天睡眠时间的平均数为小时，方差为若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为( )
A. B. C. D.
8.在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知圆：与圆：交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 线段的中垂线方程为
B. 直线的方程为
C.
D. 若点是圆上的一点，则的最大值是
11.已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线的准线与轴的交点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围为
B.
C. 若，则或
D. 点关于轴的对称点在直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
13.现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时______分钟．
14.已知为抛物线：的焦点，，为上在第一象限内的两点，且满足，，线段的中点的纵坐标为，则的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列满足，．
求数列的通项公式；
记，为数列的前项和，若，求正整数的值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为，且．
证明：；
若，求．
17.本小题分
如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面已知，．
证明：平面；
若，，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点，直线与交于，两点．
求的方程；
若线段的中点为，求直线的方程；
若直线的斜率不为且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率．
19.本小题分
对于函数，规定，，，，叫做函数的阶导数若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项已知函数．
写出函数在处的阶泰勒展开式用表示即可；
设函数在处的阶余项为，求证：对任意的，；
求证：．
参考答案
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15.解：已知等比数列满足，，
设等比数列的公比为，
则，
则，
即；
已知，
则，
又为数列的前项和，且，
则，
即，
即，
即正整数的值为．
16.证明：因为的面积，又．
所以，
又，所以所以．
所以，又，所以．
解：因为所以，
所以所以，
所以．
17.解：证明：如图，取的靠近的四等分点，连接，又，
，且，又，，
，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
取中点，连接，，
，侧面为正三角形，
，，又平面平面，
平面，
故建系如图，又，，
又，，
根据题意可得，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
直线与平面所成角的正弦值为：
，．
18.解：因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为．
设，，
因为线段的中点为，
所以，
即，
因为，两点均在椭圆上，
所以，
两式相减得，
所以，
即直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即；
易知椭圆的左焦点，直线的斜率不为，
设直线，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
设的中点为，
此时，
因为点在轴上，且，，
所以垂直平分，且，
所以的中垂线方程为，
令，
解得，
即，
所以，
又
，
所以，
解得．
故直线的斜率为．
19.解：由题意，函数，且，
则，
，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
．
证明：由可知，，，，，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
，
其中，介于与之间的常数，
所以，
因为为常数项，且，
所以函数为偶函数，
因为，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以，
故对任意的，．
证明：由可知，函数在处的阶泰勒展开式为：
，
所以，
令，
则，
所以，
即．
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