广东省汕头市潮阳区2024—2025学年九年级下学期数学模拟考试试卷（含解析）

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2024—2025学年度广东省九年级数学模拟考试
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各点中，在第三象限的点是（ ）
A． B． C． D．
4．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．一个几何体的俯视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
6．一个正多边形的每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系．例如就表示两份（氢气）与一份（氧气）点燃生成两份的（水）．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．已知，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，等边内接于，已知的半径为2，则图中的阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
9．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．分解因式：a3－a=
12．若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
13．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为 ．
14．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ．
15．如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是 ．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．解不等式组：．
17．计算：．
18．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，．
(1)求证：；
(2)E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形．
20．如图，已知是的外接圆，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
21．根据以下素材，完成任务．
探究淋浴喷头的位置
素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为．
素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，．
素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）．
素材4 参考数据：，，，．
问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离．
任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）．
五、解答题（第22小题12分，第23小题15分，共27分）
22．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码．
(1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）；
(2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）；
(3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积．
23．【问题提出】
（1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则 ；（填“>”“<”或“=”）
【问题探究】
（2）如图②，的直径为20，点A，B，C都在上，，求面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，为某市一块空地示意图，米，米，根据设计要求，现要在外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区，要求点D为内部一点，且，为服务区内两条主步道，在上修建一个引导台点E，使，再修建两条新的小道，为了让服务区功能更加合理，要使四边形的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形面积的最大值.
答案和解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A C C D A D C
1．D
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握负数小于零、负数的绝对值越大、自身反而越小成为解题的关键．
直接比较各数的大小即可解答．
【详解】解：∵，
∴最小的是，D选项符合题意．
故选D．
2．C
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键，根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点即可解答．
【详解】解：∵第三象限的点的坐标特点是横纵坐标均小于0，
∴结合四个选项中只有符合条件．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，
拋物线只经过两个象限，
，
，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．
【详解】解：A．圆柱的俯视图是圆，不符合题意；
B．横放的棱柱的俯视图是矩形，不符合题意；
C．圆锥的俯视图是带圆心的圆，符合题意；
D．圆台的俯视图是圆环，不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案．
【详解】解：∵多边形的外角和等于，且这个每个外角都等于，
∴它的边数为.
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了列二元一次方程，正确找出等量关系是解题的关键，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：∵化学方程式等号左边和等号右边氧元素原子的个数一定相同，
∴．
故选∶D．
8．A
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算．先求得，，据此求解即可．
【详解】解：连接，连接并延长交于H，则．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，则，
由圆周角定理得，，
∴图中的阴影部分面积．
故选A．
9．D
【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到，进而求解，即可解题．
【详解】解：∵当时，有，
∴反比例函数图象在一、三象限，
∴，
∴，
故选：D．
10．C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故选：C．
11．
【详解】解：a3－a
=a(a2-1)
=
故答案为：
12．x≥﹣．
【详解】考点：二次根式有意义的条件．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解．
解：根据题意得：1+2x≥0，
解得x≥-．
故答案为x≥-．
13．
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，由此进行求解即可得到答案．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
【详解】解：亿．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴关于x的方程的解是，
故答案为：．
15．
【分析】如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
【详解】解：如图，作射线BG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，
∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中
，
∴△CBG≌△CDF，
∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝3m，
在Rt△BEG中，
∵BE2＝BG2+EG2，
∴4＝m2+9m2，
∴m＝（负根已经舍弃），
∴EG的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键．
16．原不等式组的解集是．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得出答案．
【详解】解：解，得，
解，得，
原不等式组的解集是．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根的定义分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
，
．
18．甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【详解】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，
由题意得：
，解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可证明；
（2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到，，结合平行四边形性质得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明平行四边形是菱形．
本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟练掌握运用这些判定和性质是解题关键．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
（2）证明：由（1）知为直角三角形．
E，F分别是和的中点，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
又∵，
平行四边形是菱形．
20．(1)见解析
(2)的半径为10
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，连接，，，三线合一结合平行线的性质，推出，即可得证；
（2）圆周角定理推出，解直角三角形求出圆的半径即可．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，．
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
如图，连接，，，
，
，即是的垂直平分线．
，
点在的垂直平分线上，即点，，共线．
，
，
又是的半径，
与相切．
（2）解：，，
，．
，
．
在中，，
，解之，得．
，
的半径为10．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
21．（1）；（2）①理由见解析；②
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给的角度整理到直角三角形中并进行解答是解决本题的关键．
（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度；
（2）①利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为NE的长度减去的长度；
②设点A移动到了点，易得进而求得的长度，取的长度，减去的长度，即为固定器下降的距离．
【详解】解：（1）作于点N，延长交于点M，则，
∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：点A到地面的距离约为；
（2）①当时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵小明的身高是，
∴小明的舒适距离，
∵，
∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处；
②设点A移动到了点，此时在小明的“舒适喷淋点”，
∴，
由题意得：，
∴，
∴．
答：固定器下降的距离约为．
22．(1)4，6，7
(2)见解析
(3)见解析，正方形的面积为8．
【分析】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键．
（1）先计算出各个图块的面积，可得出答案；
（2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可；
（3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可．
【详解】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有
图形块1，2的面积为：，
图形块3的面积为：，
图形块4的面积为：，
图形块5的面积为：，
图形块6的面积为：，
图形块7的面积为：，
面积为2的图形块有4，6，7，
故答案为：4，6，7；
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
正方形的面积为8．
23．（1）=；（2）108；（3）平方米．
【分析】（1）由平行线的性质，根据同底等高的两三角形面积相等作答；
（2）长不变，只要边上的高最大，面积最大；由图知当C是优弧的中点时，边上的高最大，面积最大，求得优弧的中点到的距离就可求得最大面积；
（3）过C作交的延长线于F，得，先证得四边形的面积的面积；根据得点F在以为边向外作的等边的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，的面积最大，即四边形的面积最大．最后计算出的面积即是四边形的面积最大值．
【详解】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N，
∵
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
又，
∴；
故答案为：=；
（2）如图②，取优弧的中点记为，过作的垂线，垂足为D，
由垂径定理知过点O，且．
过点C作的平行线，
当直线向上平移时，与的距离增大，即的边上的高增大，
∴当CE运动到最高点C时，的边上的高最大．
又为定值，
∴当C运动到时，的面积最大，
连接，
，的直径为20，
，
在中，．
．
的面积为．
面积的最大值为108．
（3）如图，过点C作交的延长线于F．
．
．
，
四边形是平行四边形．
．
，
．
．
又由（1）的结论知，
．
所以只需求得最大值即得的最大值．
以AC为边向外作等边，再作等边的外接圆，过点G作于点J．如图，
，
点F在的外接圆上．
由第（2）问的解决知，当点F运动到点G时，．
在中，（米），
（米），
（米），
（平方米）．
四边形面积的最大值为平方米．
【点睛】本题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、等边三角形及其外接圆、平行四边形的判定和性质等考点，熟练掌握相关知识并能综合应用是解题关键．
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