浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题
1．（2024高二下·西湖期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为偶数}， {两次的点数之和为6}，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由投掷一枚骰子两次，事件{两次的点数均为偶数}， {两次的点数之和为6}，
基本事件的个数为种，可得，
由事件所包含的基本事件为，共有2中情况，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和条件概率的计算公式，从而得出的值.
2．（2024高二下·西湖期中）已知x，y的对应值如下表所示：若y与x线性相关，且求得的回归直线方程为，则（ ）
x 12 9 14
y 27 20 m
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，
将样本点中心代入回归直线方程得，得.
故答案为：C.
【分析】利用平均数计算出样本点中心，再代入回归直线方程，从而得出m的值.
3．（2024高二下·西湖期中）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种
A．72 B．36 C．12 D．6
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定，
所以不同的排序方法有种方法.
故答案为：C.
【分析】利用排列数公式和顺序一定的问题求解方法，则根据古典概率公式得出烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有的种数.
4．（2024高二下·西湖期中）深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：设表示“甲球员担当大前锋”，表示“甲球员担当小前锋”，
表示“甲球员担当组织后卫”，表示“甲球员担当得分后卫”，
B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”，
根据题意，则
，
所以，当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：.
故答案为：C．
【分析】利用全概率公式、对立事件的概率计算公式，从而得出当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率.
5．（2024高二下·西湖期中）除以15的余数是（ ）
A．9 B．8 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
对于，
令，可得，
令，可得，
可知除以15的余数是1，
所以除以15的余数是2.
故答案为：D.
【分析】根据结合赋值法以及二项式定理，从而得出除以15的余数.
6．（2024高二下·西湖期中）将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（ ）
A．50 B．150 C．240 D．300
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况，
若分组为1、1、3，则有；
若分组为1、2、2，则有，
则不同分法为种.
故答案为：B.
【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，再分类讨论结合组合数公式，则根据分类加法计数原理得出不同的分配方法种数.
7．（2024高二下·西湖期中）圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．60
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，
也可以从5组不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个.
故答案为：D.
【分析】把10个点看成5条线段的组合，再利用组合数公式计算得出满足要求的梯形的个数.
8．（2024高二下·西湖期中）来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【解答】解：记“最后面试的学生来自2班”为事件B，“最后面试的学生来自3班”为事件C，
显然事件B，C互斥，
记“1班参加面试的学生先于其他两班学生完成面试”为事件D，则，
当事件B发生时，只需考虑1，3两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自3班，
则；
当事件C发生时，只需考虑1，2两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自2班，
则，
所以．
故答案为：A.
【分析】利用条件概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率.
9．（2024高二下·西湖期中）已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（ ）
A．的方差为 B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】由已知可得，，则的方差为，A不符合题意；
，B对；
因为正态密度曲线中间高，两边低，且，故，C不符合题意；
，D对.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合随机变量服从正态分布，进而求出随机变量X的方差，再利用正态分布对应的函数的图象的对称性，从而求出 的值，再利用正态密度曲线中间高，两边低，且，得出，再利用对立事件求概率公式和正态分布对应的函数的图象的对称性，进而得出的值，从而找出正确的选项。
10．（2024高二下·西湖期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；分步乘法计数原理；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选：ABC.
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法与分步乘法计数计算，将＂乐＂与＂射＂进行捆绑为一个整体，然后放入整体中进行全排列；C选项，利用插空法与分步乘法计数计算，将不相邻的三门课程进行插空排序，然后分别进行全排列后相乘；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算并进行相加.
11．（2024高二下·西湖期中）以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的（ ）
A．三个小组都受到奖励的概率是
B．只有A小组受到奖励的概率是
C．只有C小组受到奖励的概率是
D．受到奖励的小组数的期望值是
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设三个小组攻克该技术难题分别为事件，即，相互独立，
，A符合题意；
，B不符合题意；
只有丙小组受到奖励的概率是，C不符合题意；
设受到奖励的小组数为，则的值为，
，
，
，
．
所以．D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】由A，B，C相互独立，可得，，即可判断A，B.
由，可判断C；
设受到奖励的小组数为，则的值为，由，，，．求得概率，即可判断D
12．（2024高二下·西湖期中）的展开式中，项的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
由，得，所以的展开式中项的系数为.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而可得展开式为时的的值，再代入r的值可得展开式中项的系数.
13．（2024高二下·西湖期中）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为 ．
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，
选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，
则，，，
由全概率公式可得：
故答案为：.
【分析】利用已知条件合理设出事件，再利用全概率公式得出小王做对的概率.
14．（2024高二下·西湖期中）从中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率 .
【答案】
【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：易知三个整数的样本方差，
则当且仅当是三个连续整数，易知共10种情况，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意结合方差公式和组合数公式，再利用古典概率公式得出样本方差的概率.
15．（2024高二下·西湖期中）已知的展开式中，所有二项式系数的和为32.
（1）求n的值；
（2）若展开式中的系数为80，求a的值.
【答案】（1）解：∵所有二项式系数的和为32，∴， ∴．
（2）解：二项式展开式的通项公式为：，
令，
∴展开式中的系数为，
∴，则．
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据已知条件和所有二项式系数的和为，从而列式求解得出n的值.
（2）利用二项式定理得出展开式中的通项公式，再结合题意，令指数等于得出r的值，从而得出展开式中的系数，再结合展开式中的系数为80，从而得出实数a的值.
（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， ∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴则．
16．（2024高二下·西湖期中）为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
【答案】（1）解：设表示第次借阅“期刊杂志”，
表示第次借阅“文献书籍”，，
则.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，
，
，
，
随机变量的分布列为：
0 1 2
所以.
（2）解：若小明第二次借阅“文献书籍”，
则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由如下：
若第一次借阅“期刊杂志”，
则；
若第一次借阅“文献书籍”，
则，
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X的取值，结合条件概率求出对应的概率，即可求出随机变量X的分布列，再根据分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望.
（2）利用已知条件先求出的值，根据条件概率公式分别求出借阅两类图书的概率，比较大小，即可分析出他第一次借阅平面的图书的可能性更大.
（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，，
则.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.
，
，
.
随机变量的分布列为
0 1 2
所以.
（2）若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下：
．
若第一次借阅“期刊杂志”，则．
若第一次借阅“文献书籍”，则．
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
17．（2024高二下·西湖期中）在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为，，，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
（1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
（2）运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
【答案】（1）解：设甲同学三道题都答对的事件为，则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）解：设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分，
，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以，所以乙的得分能力更强.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出甲同学至少有一道题不能答对的概率.
（2）利用已知条件，分别求出甲、乙两同学得分的概率分布和均值，再比较甲、乙两同学得分的均值的大小，从而判断出乙的得分能力更强.
（1）设甲同学三道题都答对的事件为，则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以，
所以，所以乙的得分能力更强.
18．（2024高二下·西湖期中）在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；
（2）假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？
【答案】（1）解：恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：
第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性的概率为：
第二种：前三次检测均为阴性的概率为：，
所以概率为．
（2）解：方案一：混在一起检验，记检验次数为X，
则X的取值范围是，
所以，，；
方案二：每组的两个样本混合在一起检验，
若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为；
若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为，
设检验次数为随机变量Y，则Y的取值范围是，
，，
，，
所以，方案一更优．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）依题意，将问题分为两类，再由古典概率公式和互斥事件加法求概率公式得出恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率.
（2）先根据题意分别求出两种方案的分布列和数学期望，再比较判断出方案一更优．
（1）恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：
第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性
第二种：前三次检测均为阴性，所以概率为．
（2）方案一：混在一起检验，记检验次数为X，则X的取值范围是，
，，．
方案二：每组的两个样本混合在一起检验，
若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为，
若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为．
设检验次数为随机变量Y，则Y的取值范围是，
，，
，，
所以，方案一更优．
19．（2024高二下·西湖期中）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
（1）求的值，并探究数列的通项公式；
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【答案】（1）解：记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，；
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，，
综上所述，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；概率的应用；条件概率
【解析】【分析】（1）根据全概率公式得出，再利用抽奖规则结合全概率公式，则由等比数列的定义判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）根据对分奇数和偶数分类讨论的单调性，从而得出的最大值，进而得出该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
1 / 1浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题
1．（2024高二下·西湖期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为偶数}， {两次的点数之和为6}，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·西湖期中）已知x，y的对应值如下表所示：若y与x线性相关，且求得的回归直线方程为，则（ ）
x 12 9 14
y 27 20 m
A．30 B．31 C．32 D．33
3．（2024高二下·西湖期中）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种
A．72 B．36 C．12 D．6
4．（2024高二下·西湖期中）深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
5．（2024高二下·西湖期中）除以15的余数是（ ）
A．9 B．8 C．3 D．2
6．（2024高二下·西湖期中）将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（ ）
A．50 B．150 C．240 D．300
7．（2024高二下·西湖期中）圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．60
8．（2024高二下·西湖期中）来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·西湖期中）已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（ ）
A．的方差为 B．
C． D．
10．（2024高二下·西湖期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
11．（2024高二下·西湖期中）以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的概率分别为，，，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的（ ）
A．三个小组都受到奖励的概率是
B．只有A小组受到奖励的概率是
C．只有C小组受到奖励的概率是
D．受到奖励的小组数的期望值是
12．（2024高二下·西湖期中）的展开式中，项的系数为 .（用数字作答）
13．（2024高二下·西湖期中）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为 ．
14．（2024高二下·西湖期中）从中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率 .
15．（2024高二下·西湖期中）已知的展开式中，所有二项式系数的和为32.
（1）求n的值；
（2）若展开式中的系数为80，求a的值.
16．（2024高二下·西湖期中）为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
17．（2024高二下·西湖期中）在我校开展的文化节知识竞赛活动中，共有A、B、C三道必答题，答对A、B、C分别得10分，10分，20分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为，，，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都回答了这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
（1）求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
（2）运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
18．（2024高二下·西湖期中）在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；
（2）假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？
19．（2024高二下·西湖期中）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
（1）求的值，并探究数列的通项公式；
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由投掷一枚骰子两次，事件{两次的点数均为偶数}， {两次的点数之和为6}，
基本事件的个数为种，可得，
由事件所包含的基本事件为，共有2中情况，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和条件概率的计算公式，从而得出的值.
2．【答案】C
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，
将样本点中心代入回归直线方程得，得.
故答案为：C.
【分析】利用平均数计算出样本点中心，再代入回归直线方程，从而得出m的值.
3．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定，
所以不同的排序方法有种方法.
故答案为：C.
【分析】利用排列数公式和顺序一定的问题求解方法，则根据古典概率公式得出烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有的种数.
4．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：设表示“甲球员担当大前锋”，表示“甲球员担当小前锋”，
表示“甲球员担当组织后卫”，表示“甲球员担当得分后卫”，
B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”，
根据题意，则
，
所以，当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：.
故答案为：C．
【分析】利用全概率公式、对立事件的概率计算公式，从而得出当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率.
5．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
对于，
令，可得，
令，可得，
可知除以15的余数是1，
所以除以15的余数是2.
故答案为：D.
【分析】根据结合赋值法以及二项式定理，从而得出除以15的余数.
6．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况，
若分组为1、1、3，则有；
若分组为1、2、2，则有，
则不同分法为种.
故答案为：B.
【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，再分类讨论结合组合数公式，则根据分类加法计数原理得出不同的分配方法种数.
7．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，
也可以从5组不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个.
故答案为：D.
【分析】把10个点看成5条线段的组合，再利用组合数公式计算得出满足要求的梯形的个数.
8．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率
【解析】【解答】解：记“最后面试的学生来自2班”为事件B，“最后面试的学生来自3班”为事件C，
显然事件B，C互斥，
记“1班参加面试的学生先于其他两班学生完成面试”为事件D，则，
当事件B发生时，只需考虑1，3两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自3班，
则；
当事件C发生时，只需考虑1，2两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自2班，
则，
所以．
故答案为：A.
【分析】利用条件概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率.
9．【答案】B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】由已知可得，，则的方差为，A不符合题意；
，B对；
因为正态密度曲线中间高，两边低，且，故，C不符合题意；
，D对.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合随机变量服从正态分布，进而求出随机变量X的方差，再利用正态分布对应的函数的图象的对称性，从而求出 的值，再利用正态密度曲线中间高，两边低，且，得出，再利用对立事件求概率公式和正态分布对应的函数的图象的对称性，进而得出的值，从而找出正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；分步乘法计数原理；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选：ABC.
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法与分步乘法计数计算，将＂乐＂与＂射＂进行捆绑为一个整体，然后放入整体中进行全排列；C选项，利用插空法与分步乘法计数计算，将不相邻的三门课程进行插空排序，然后分别进行全排列后相乘；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算并进行相加.
11．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设三个小组攻克该技术难题分别为事件，即，相互独立，
，A符合题意；
，B不符合题意；
只有丙小组受到奖励的概率是，C不符合题意；
设受到奖励的小组数为，则的值为，
，
，
，
．
所以．D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】由A，B，C相互独立，可得，，即可判断A，B.
由，可判断C；
设受到奖励的小组数为，则的值为，由，，，．求得概率，即可判断D
12．【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
由，得，所以的展开式中项的系数为.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，从而可得展开式为时的的值，再代入r的值可得展开式中项的系数.
13．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，
选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，
则，，，
由全概率公式可得：
故答案为：.
【分析】利用已知条件合理设出事件，再利用全概率公式得出小王做对的概率.
14．【答案】
【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：易知三个整数的样本方差，
则当且仅当是三个连续整数，易知共10种情况，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意结合方差公式和组合数公式，再利用古典概率公式得出样本方差的概率.
15．【答案】（1）解：∵所有二项式系数的和为32，∴， ∴．
（2）解：二项式展开式的通项公式为：，
令，
∴展开式中的系数为，
∴，则．
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据已知条件和所有二项式系数的和为，从而列式求解得出n的值.
（2）利用二项式定理得出展开式中的通项公式，再结合题意，令指数等于得出r的值，从而得出展开式中的系数，再结合展开式中的系数为80，从而得出实数a的值.
（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴， ∴．
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，
∴展开式中的系数为，
∴则．
16．【答案】（1）解：设表示第次借阅“期刊杂志”，
表示第次借阅“文献书籍”，，
则.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，
，
，
，
随机变量的分布列为：
0 1 2
所以.
（2）解：若小明第二次借阅“文献书籍”，
则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由如下：
若第一次借阅“期刊杂志”，
则；
若第一次借阅“文献书籍”，
则，
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X的取值，结合条件概率求出对应的概率，即可求出随机变量X的分布列，再根据分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望.
（2）利用已知条件先求出的值，根据条件概率公式分别求出借阅两类图书的概率，比较大小，即可分析出他第一次借阅平面的图书的可能性更大.
（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，，
则.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.
，
，
.
随机变量的分布列为
0 1 2
所以.
（2）若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下：
．
若第一次借阅“期刊杂志”，则．
若第一次借阅“文献书籍”，则．
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
17．【答案】（1）解：设甲同学三道题都答对的事件为，则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）解：设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分，
，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以，所以乙的得分能力更强.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出甲同学至少有一道题不能答对的概率.
（2）利用已知条件，分别求出甲、乙两同学得分的概率分布和均值，再比较甲、乙两同学得分的均值的大小，从而判断出乙的得分能力更强.
（1）设甲同学三道题都答对的事件为，则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：
0 10 20 30 40
所以，
所以，所以乙的得分能力更强.
18．【答案】（1）解：恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：
第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性的概率为：
第二种：前三次检测均为阴性的概率为：，
所以概率为．
（2）解：方案一：混在一起检验，记检验次数为X，
则X的取值范围是，
所以，，；
方案二：每组的两个样本混合在一起检验，
若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为；
若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为，
设检验次数为随机变量Y，则Y的取值范围是，
，，
，，
所以，方案一更优．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）依题意，将问题分为两类，再由古典概率公式和互斥事件加法求概率公式得出恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率.
（2）先根据题意分别求出两种方案的分布列和数学期望，再比较判断出方案一更优．
（1）恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：
第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性
第二种：前三次检测均为阴性，所以概率为．
（2）方案一：混在一起检验，记检验次数为X，则X的取值范围是，
，，．
方案二：每组的两个样本混合在一起检验，
若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为，
若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为．
设检验次数为随机变量Y，则Y的取值范围是，
，，
，，
所以，方案一更优．
19．【答案】（1）解：记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，；
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，，
综上所述，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；概率的应用；条件概率
【解析】【分析】（1）根据全概率公式得出，再利用抽奖规则结合全概率公式，则由等比数列的定义判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）根据对分奇数和偶数分类讨论的单调性，从而得出的最大值，进而得出该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
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