【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题01 将军饮马系列模型（几何最值模型）
模型解读 2
常见类型讲解 2
【“将军饮马”模型】 2
1、“两点一线”类型（5种情况） 2
2、“定点两线”类型（4种情况） 3
3、其他类型（三点三线） 5
【“将军遛马”模型】 5
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】 6
真题演练 8
【“将军饮马”问题专练】 8
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】 10
巩固练习 10
压轴真题强化 12
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第2页（共15页）
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
这个问题被称为“将军饮马”。“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在各类考试中大多以中高档、压轴题的形式出现。
“将军遛马”模型和“将军过桥”模型是“将军饮马”的姊妹篇，它是在“将军饮马”的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本章就“将军遛马”模型和“将军过桥”模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【“将军饮马”模型】
1、“两点一线”类型（5种情况）
1）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
做法：连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+ PB的最小。
2）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB′。
3）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。
做法：连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。
4）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使最大。
做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′。
5）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。
做法：连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。
2、“定点两线”类型（4种情况）
1）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。
做法：分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P"。
2）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。
做法：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P′C。
3）点P在∠AOB的外部，在OA上找到点C，使PC与C点到直线OB的距离之和最小。
做法：过点P作线段OB的垂线，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为线段PD的长。
4）点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。
做法：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。
3、其他类型（三点三线）
（三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F分别为AB、AC、BC边上的动点，求△DEF周长的最小值。
做法：先将点D视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD最小时，即CD⊥AB时的交点为D。△DEF周长的最小值为线段 ′ ′′的长度。
【“将军遛马”模型】
【问题描述】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【模型转化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
做法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线．
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】
【单桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【双桥模型】已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．
【“将军饮马”问题专练】
（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】
（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
1、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
2、如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
3、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
4、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
5、如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．
6、【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．
已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B． C． D．18
2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
3．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
二、填空题
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
7．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．
8．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．
三、解答题
9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
10．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
11．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题01 将军饮马系列模型（几何最值模型）
模型解读 2
常见类型讲解 2
【“将军饮马”模型】 2
1、“两点一线”类型（5种情况） 2
2、“定点两线”类型（4种情况） 3
3、其他类型（三点三线） 5
【“将军遛马”模型】 5
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】 6
真题演练 8
【“将军饮马”问题专练】 8
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】 19
巩固练习 23
压轴真题强化 31
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第2页（共48页）
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
这个问题被称为“将军饮马”。“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在各类考试中大多以中高档、压轴题的形式出现。
“将军遛马”模型和“将军过桥”模型是“将军饮马”的姊妹篇，它是在“将军饮马”的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本章就“将军遛马”模型和“将军过桥”模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【“将军饮马”模型】
1、“两点一线”类型（5种情况）
1）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
做法：连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+ PB的最小。
2）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB′。
3）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。
做法：连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。
4）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使最大。
做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′。
5）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。
做法：连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。
2、“定点两线”类型（4种情况）
1）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。
做法：分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P"。
2）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。
做法：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P′C。
3）点P在∠AOB的外部，在OA上找到点C，使PC与C点到直线OB的距离之和最小。
做法：过点P作线段OB的垂线，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为线段PD的长。
4）点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。
做法：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。
3、其他类型（三点三线）
（三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F分别为AB、AC、BC边上的动点，求△DEF周长的最小值。
做法：先将点D视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD最小时，即CD⊥AB时的交点为D。△DEF周长的最小值为线段 ′ ′′的长度。
【“将军遛马”模型】
【问题描述】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【模型转化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
做法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线．
【“将军过桥”模型（单桥/双桥）】
【单桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【双桥模型】已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．
【“将军饮马”问题专练】
（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解：四边形是矩形，
，，
点M，N分别是的中点，
，，，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，
则，
当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，
，
的最小值，
故选C．
（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴,且BE⊥CD，
∴
故选：A．
（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°，，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′=．
故选：A．
（2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
【答案】A
【详解】解：如图所示，
延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，
设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，
此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，
∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，
在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于
∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
又∵点在的延长线上，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，
∴，
当、、共线时，
，
过点作，垂足为，
∵，
∴的最小值即为平行线间的距离的长，
∵是边长为2的等边三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值为．
（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，
∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【“将军遛马”和“将军过桥”问题专练】
（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：由平移的性质可得AB//
且AB=
∵四边形ABCD为矩形
∴AB//CD，AB=CD=15
∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，
当点B'与D重合时，四边形不存在，
故①错误
在矩形ABCD中，BD===25
过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM
∴AM=CN==12
∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48
∴故②正确
∵
∴当在一条直线时最大，
此时与D重合
∴的最大值==15
∴故③正确，
如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于
则 为的中位线， ，
由可得，
此时最小，
由②同理可得：
设 则
由勾股定理可得：
整理得：
解得：（负根舍去），
∴故④正确
故选C．
（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
1、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
在和中
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，
故选A．
2、如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点P作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：；．
3、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
【答案】6
【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵点A与A′关于CD对称，
∴CD⊥AA′，，，
∴，
∵AC=BC，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：6
4、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
【答案】/
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，
∴OA=，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案为：．
5、如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．
此时最小，且等于的长．
连接，，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
则，又，
则，
故答案为：．
6、【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．
已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为．
【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，
∴，
∴
即的最小值是10；
（2）如图，作G关于的对称点，在上截取，
连接，，，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，G为的中点，
，，
由勾股定理得，
，即的最小值为：；
（3）管理人员的想法能实现，
作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，
，，，，
，，
，，
，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
.
在中，，
的最小值为.
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B． C． D．18
【答案】B
【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形和都是矩形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，
∵，，
∴，
故选：B．
2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
3．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
【答案】A
【详解】解：如图所示，
延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，
设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，
此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，
∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，
在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于
∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
二、填空题
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【答案】/度
【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，
∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：5
7．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：，
∴对称轴为，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，
当时，，
∴，
当时，，
解得，，
∴，，
在y轴上取点，连接，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
当E、C、F三点共线时，最小，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∴当最小时，C的坐标为，
故答案为：．
8．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，
∵I是的内心，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）解：过点N作于点F，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：
即，
∴在中，，
∴的最小值为．
10．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
(3)
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
11．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
【答案】（1）2（2）（3）（4）
【详解】解：如图，
∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
∴设，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
