中小学教育资源及组卷应用平台
【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题02 胡不归模型（几何最值模型）
模型解读 1
常见类型讲解 2
1、模型建立 2
2、问题分析 2
3、问题解决 3
4、模型总结 3
真题演练 3
巩固练习 5
压轴真题强化 6
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘若有可能，他应该选择怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”。
法国著名数学家费马(Fermat，1601-1665)，他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙地解决“胡不归”问题.费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、相辅相成的，我们应该多多涉猎各方面知识，这样才能最大限度提升自我，走向成功。
1、模型建立
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V12、问题分析
，记，即求BC+kAC的最小值.
3、问题解决
构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
4、模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
（2020·四川乐山·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
1、如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
2、已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．
3、如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C．将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当取最小值时，求的面积；
(3)将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
一、单选题
1．（2023·安徽合肥·一模）如图，为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2021·辽宁锦州·二模）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、填空题
3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
6．（2020·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第2页（共8页）中小学教育资源及组卷应用平台
【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题02 胡不归模型（几何最值模型）
模型解读 1
常见类型讲解 2
1、模型建立 2
2、问题分析 2
3、问题解决 3
4、模型总结 3
真题演练 3
巩固练习 10
压轴真题强化 17
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘若有可能，他应该选择怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”。
法国著名数学家费马(Fermat，1601-1665)，他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙地解决“胡不归”问题.费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、相辅相成的，我们应该多多涉猎各方面知识，这样才能最大限度提升自我，走向成功。
1、模型建立
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V12、问题分析
，记，即求BC+kAC的最小值.
3、问题解决
构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
4、模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，
∴有最小值，
作轴于点P，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，则，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，，解得，
即；
过点D作轴于点G，
直线与x轴的交点为，则，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB sin60°==，
∴BD=2BO=；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=BE
∵，
∴MN=，
设BE=，则EN=，
∴EM=MN-EN=，
∵S菱形ABCD= AD MN=，
∴S△ABD= S菱形ABCD=，
∵BE=DF，
∴DF=，
∴S△DEF=DF EM= =，
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵点E在BD上，且不在端点，∴0①当CE⊥AB时，
∵OB⊥AC，
∴点E是△ABC重心，
∴BE=CE=BO=，
此时 =，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；
②作CH⊥AD于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH=，
∵，
∴当，即BE=时， s达到最小值，
∵BE=DF，
∴DF=3，
此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+CF的值达到最小，
其最小值为CO+CH==12．
（2020·四川乐山·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，
∴，
又∵，
∴，
即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，
∴ 解得
即直线的解析式为 ，
设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积
∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，
∴，
过点作于，则在中，
，
∴，
再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，即，
∴的最小值为．
1、如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】
如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，
，且，
，
，
．
，
∴当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为．
，
．
又，，
∴四边形是矩形，
，，
，
．
故答案为：
2、已知在等腰中，，．，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接E，则的最小值为 (用含的代数式表示)．
【答案】
【详解】解：如图，过点作交延长线于，过点作于，作的垂直平分线交于，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
当、、三点共线时，为最小值，
当、、三点共线时，，
，
，
与重合，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
的垂直平分线交于，
，
，
，
在中，，
即的最小值
故答案为：．
3、如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点，点C为中点，反比例函数刚好经过点C．将直线绕点A沿顺时针方向旋转得直线，直线与x轴交于点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点Q为射线以上一动点，当取最小值时，求的面积；
(3)将沿射线方向进行平移，得到且刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)的面积为
(3)N点坐标为，或，过程见解析
【详解】（1）解：过点A作于点E，过点C作于点F，
∵，
∴，点C为中点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∵将直线顺时针旋转得到直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作直线，
∴，
过点Q作于点H，
∴，
∴当D，Q，H三点共线时，取最小值，
此时Q与A重合，
∴，
∴的面积为；
（3）解：N点坐标为，或，理由如下：
由题可知，，
设，，
当为对角线时，，
解得：，
∴，
当为对角线时，如图，
∵，
解得，
∴，
当为对角线时，如图，
，
解得，
∴，
综上，N点坐标为，或．
一、单选题
1．（2023·安徽合肥·一模）如图，为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：过A作于F，过点P作于E，
∵为等边三角形，平分，
∴，
∴，
∴，即的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
2．（2021·辽宁锦州·二模）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】连接AC交OB于点M，过M点作MH⊥OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P
∵四边形是菱形
∴AM⊥OB，，，
∵
∴，
∵MH⊥OC，AM⊥OB
∴
∴
∴
∵
∴
∴当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG，如下图所示
∵菱形的面积
∴
∴的最小值为4，
故选：A．
二、填空题
3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
【答案】6
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值为．
故答案为：．
三、解答题
5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为：
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵的对称轴为直线，而，
∴函数最小值为：，
当时，，
当时，，
∴函数值的范围为：；
（3）解：∵，
当时，，
∴，
当时，
解得：，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，
∴，
∴直线为，
∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为，
∴，
∴在直线上，
如图，过作于，连接，过作于，
∵，，
∴，，
∵对称轴与轴平行，
∴，
∴，
∴，
由抛物线的对称性可得：，，
∴，
当三点共线时取等号，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为：．
6．（2020·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
【答案】（1）；（2）存在点P，点P坐标为（2＋，1＋）或（2 ，1 ）或（2， 3）；（3）＋
【详解】（1）由题意，令，即
∴A的坐标为（4,0）
令，即
∴B的坐标为（0，-2）
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得
解得
∴抛物线解析式为：；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2＋，1＋）或（2 ，1 ）；
当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"，
∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE，
∴S△AP"B＝S△ABO，
∵EP"∥AB，且过点E（0， 4），
∴直线EP"解析式为y＝x 4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P"（2， 3），
综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2 ，1 ）或（2， 3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m，），则点F（m，m 2），
∴MF＝m 2 （）＝ （m 2）2＋2，
∴△MAB的面积＝×4×[ （m 2）2＋2]＝ （m 2）2＋4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2， 3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN＋ON＝MN＋KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2＋3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝＋，
∴MN＋ON的最小值为＋．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第2页（共27页）
