中小学教育资源及组卷应用平台
【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题03 费马点模型（几何最值模型）
模型解读 1
常见类型讲解 2
1、问题引入 2
2、如何作出费马点 2
3、模型证明 3
真题演练 5
巩固练习 7
压轴真题强化 8
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年。
费马点问题：是指在一个三角形中，找到一点，使其到三角形三个顶点的距离之和最小的问题。解决方法是通过旋转、对称等方法，将问题转化为“在直线上找一点，使其到两个定点的距离之和最小”的模型，进而求出最小值。
1、问题引入
问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.
解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120 ，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.
2、如何作出费马点
第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，
第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE，
第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点），
第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120 .
注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120 ，若最大的角大于或等于120 ，对应的图如下所示：
此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120 .
3、模型证明
证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.
如下图所示，在△AEB与△ACD中，
∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60 ，
∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC，
在△BPM与△DAM中，
∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60 ，∴∠BPC＝120 ；
在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示：
由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG，
易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120 ，
∴∠APC＝120 ，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.
接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！
如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ绕着点A顺时针方向旋转60 得到，则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形.
由题意可得
，即CD为最短的线段.
（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置，使点A到达点E的位置，连接AD，AE，AF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，连接MP，NP，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数，请说明理由．
（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
一、单选题
1．（2023·四川·模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A． B．36 C． D．
二、填空题
2．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ．
三、解答题
3．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
(1)求证：；
(2)当的最小值为时，求正方形的边长．
4．（2020·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由．
6．（2021·重庆·一模）如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．
（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；
（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第4页（共10页）中小学教育资源及组卷应用平台
【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题03 费马点模型（几何最值模型）
模型解读 1
常见类型讲解 2
1、问题引入 2
2、如何作出费马点 2
3、模型证明 3
真题演练 5
巩固练习 11
压轴真题强化 15
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年。
费马点问题：是指在一个三角形中，找到一点，使其到三角形三个顶点的距离之和最小的问题。解决方法是通过旋转、对称等方法，将问题转化为“在直线上找一点，使其到两个定点的距离之和最小”的模型，进而求出最小值。
1、问题引入
问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.
解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120 ，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.
2、如何作出费马点
第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，
第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE，
第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点），
第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120 .
注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120 ，若最大的角大于或等于120 ，对应的图如下所示：
此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120 .
3、模型证明
证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.
如下图所示，在△AEB与△ACD中，
∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60 ，
∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC，
在△BPM与△DAM中，
∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60 ，∴∠BPC＝120 ；
在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示：
由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG，
易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120 ，
∴∠APC＝120 ，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.
接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！
如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ绕着点A顺时针方向旋转60 得到，则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形.
由题意可得
，即CD为最短的线段.
（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
【答案】 5
【详解】①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点
5
②如图：
.
将绕点逆时针旋转60
由旋转可得：
是等边三角形，
P为的费马点
即四点共线时候，
=
故答案为：①5，②
（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置，使点A到达点E的位置，连接AD，AE，AF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，连接MP，NP，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数，请说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）①；②见解答；
（3）是，∠MPN=30°．
【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC=，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE=，
故答案为：；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：
如图，连接MN，
∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN=AD=FE=PN，
∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．
（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，
过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；
(2)见详解；
(3)；
(4)．
【详解】（1）解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
（2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．
（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
一、单选题
1．（2023·四川·模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A． B．36 C． D．
【答案】A
【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，
∵取、中点，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时最小，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
二、填空题
2．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ．
【答案】
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点，
在中，∵，，
∴，
由旋转的性质可知：，、是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，的值最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
3．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
(1)求证：；
(2)当的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)正方形的边长为
【详解】（1）证明，是等边三角形，
，．
由旋转的性质可得，
．即，
．
（2）解：连接，
由（1）知，，
，
，，
是等边三角形．
．
．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，
，
．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
4．（2020·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1）证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）连接AF，由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，
∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则，
在中，
∵，
∴F为CG中点，即，
∴，
即；
（3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP，
∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴当的值取得最小值时，点P位于线段CE上；
如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，
∴当的值取得最小值时，点P位于线段BF上；
综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∴∠EPB=EAB=60°，
∴∠BPC=120°，
如图4，同理可得，，
∴，
设PD为，
∴，
又，
∴，
又
∴．
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，的最小值为300，的长为米
【详解】解：（1）如图①，连接．
根据小明的思路可知，，，则．
∵，，
在中，，
当C，P，，E四点共线时取得最小值，的最小值为．
（2）存在．∵点A，关于对称，
米，
点在以点E为圆心，50米为半径的圆弧上．
如图②，连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧．
由（1）同理可得，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，，
为等边三角形，
，
∵，
米．
当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，最小值为，此时点为与弧的交点．
过点作于点H，交于点M．
∵，
为等边三角形，
米．
∵，，
，
（米），
在中，（米）．
易得米，米，
则（米），（米），
在中，（米），
（米），
的最小值为300．
设交于点N，过点B作于点Q．
，
，
，即，
米，米，
米，
，
，
，
，
米，
易知当取得最小值时，，
在中，（米）．
答：的最小值为300，此时的长为米．
6．（2021·重庆·一模）如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．
（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；
（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，，
∴，
∵若三点共线，
∴，
如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H，
∴，
∴，
即：点B到直线的距离为；
（2）延长CF到N，使FN=CF，连接BN，
∵FD=FB，，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
（3）的最小值为；
过程如下：如解图3，过点G作，且，过点G作，且，连接OC、、，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，仅当C、O、、在同一条直线上等号成立；
如解图4，过点作，垂足为H，过点作，垂足为P，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴的最小值为：，
∴的最小值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第2页（共29页）
