浙江杭州第二中学2024-2025学年高二下第3周周末数学练习试题（图片版，含答案）

浙江杭州第二中学2024-2025学年高二下第3周周末数学练习试题
一、单选题
1.某景区新开通了A，B，C三个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4名志愿者体验游玩项目，每名
志愿者均选择 1个项目进行体验，每个项目至少有 1名志愿者进行体验，且丁不体验C项目，则
不同的体验方法共有 ( )
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 30种
2.已知Sn是等比数列 an 的前 n项和，则“a2,a8,a5依次成等差数列”是“S3,S9,S6依次成等差数列”
的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2 y2
3.已知双曲线C : x
2 - = 1 2 a>0,b>0 的左顶点为A,F c,0 是双曲线C的右焦点，点P在直a b
线 x= 2c上，且 tan∠APF 6的最大值是 6 ，则双曲线C的离心率是 ( )
A. 2 3 B. 2+ 7 C. 2 6 D. 4+ 2 7
4.如图，湖面上有 4个相邻的小岛A,B,C,D，现要建 3座桥梁，将这 4个
小岛连通起来，则建设方案有 ( )
A. 12种 B. 16种
C. 20种 D. 24种
2025
5.已知数列 a 满足 a = a + a2 1 1n n+1 n n,a1= 3 ，且 i=1 ai+ 1
∈ [m,m+ 1),m
∈N ，则m等于 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.从 1,2,3, ,10这 10个数中任取 4个不同的数 a 1,a2,a3,a4，则存在 1≤ i< j≤ 4,i,j∈N ，使得
ai-a j = 1的取法种数为 ( )
A. 195 B. 154 C. 175 D. 185
7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形且∠BAD= 60°,AB= 6,AA1= 2,

2A1E= EC1．平面 α过点A、E且与BD平行，点P在平面 α上且满足 tan∠A 31C1P= 9 ，则点
P的轨迹为 ( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一部分 D. 抛物线一部分
8.已知函数 f x = ax3+ 3xlnx a∈R 1 ，若 f x 在开区间 e ,e 内存在极大值点，则实数 a的取值
范围是 ( )
A. 2 e - 2 ,0 B. - 2 ,0 C.
e
- 2 ,-
2 D. e 1 - ,-
e e 2 2 e
1
二、多选题
9.下列说法正确的是 ( )
A. 将 10个团员指标分到 3个班，每班要求至少得 2个，有 15种分配方法
B. 小明去书店看了 4本不同的书，想借回去至少 1本，有 15种方法
C. 英文单词“sentence”由 8个字母构成，将这 8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到
英文单词的个数为 2520个 (可以认为每个组合都是一个有意义的单词)
D. 六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有 24种
10.在公比为 q的等比数列 an 中，a1+ a2< 0,a2> 0．记数列 an 的前 n项积为Tn，则下列说法正
确的是 ( )
A. - 1< q< 0
B. a2024+ a2025< 0
C. 若 a18-1 a20-1 < 0，则Tn的最大项为T19
D. 若 a17+1 a19+1 < 0，则Tn的最小项为T18
11.已知定义域为 R的函数 f x 满足 f x-y - f x+y = f x-1 f y-1 ，且 f 0 = 2，g x 为
f x 的导函数，则 ( )
2025
A. f x 为偶函数 B. g x 为周期函数 C. f k = 0 D. g 2026 = 0
k=0
三、填空题
12. x
2 2
已知双曲线 2 -
y
2 = 1 a>0,b>0 的两个焦点分别为 F1 -c,0 、F2 c,0 ，c> 0，以 F1Fa b 2
为直
c 2 b2
径的圆与双曲线在第四象限的交点为P，若直线PF1与圆 E: x- + y23 = 9 相切，则双曲线
的离心率是 ．
13.川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫
主义手法，王老师获得了川剧演出的 7张连号的票，王老师自己留下了 2张连号的票，其余的票
赠送给 4位朋友，每人至少分 1张，至多分 2张，且这两张票连号，那么共有 种不同的分
法． (用数字作答)
14.已知 k> 0，对任意的 x ∈ 1 e ,+∞ ，不等式 ekx kx-1 ≥ exlnx恒成立，则 k的取值范围是
．
四、解答题
15. 3 3a已知数列 an 满足 a1= n4 ，an+1= 1+2a .n
(1) 1证明： a -1 是等比数列；n
(2) a设 b nan+1 3n= n ，证明：b1+ b2+ +bn< 8 .3
2
x2 y216.已知椭圆E： 2 + 2 = 1 a>b>0 ，两焦点和短轴一个端点构成边长为 2的正三角形．a b
(1)求椭圆方程；
(2)设直线 l1：y= kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O直线 l2：y= kx+n与
椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为 k1，直线
BC的斜率为 k2．
k
①求 1 的值；
k2
S
②若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，求 △OABS 的值．△PAB
17. 1已知函数 f(x) = x +a ln(1+ x).
(1)当 a=-1时，求曲线 y= f x 在点 1,f 1 处的切线方程；
(2)是否存在 a，b 1，使得曲线 y= f x 关于直线 x= b对称，若存在，求 a，b的值，若不存在，说明
理由.
(3)若 f x 在 0,+∞ 存在极值，求 a的取值范围.
18.对于一个 n 元正整数集 S = 1,2, ,n n ，如果它能划分成 2 个不相交的二元子集
a ,b i=1,2, , n 的并集，即 S= a ,b ∪ a ,b ∪ ∪ a ,b ，且存在 k∈N *i i 2 1 1 2 2 n n ，使得 ai+ bi
= 3k，则称这个偶数n为可分数.例如，由于二元子集 1,2 满足 1+ 2= 3，则称 2为可分数.
(1)判断 4和 6是否为可分数，并说明理由；
(2)求小于 81的最大可分数；
(3)记小于 3n n∈ *
a
N 的可分数的个数为 an，令 bn= nn ，记Sn为数列 bn 的前n项和，证明：S3 n
< 32 .
3
参考答案
CBBBBCBC
ABC AC ABD
65
7 480 [1, +∞)
3a 3a 3a
15．【详解】(1) a = 3 a = n因为 1 4 ， n+1 1+2a ，则a2=
1
1+2a > 0
2
，a3=
n 1 1+2a
> 0，
2
以此类推可知，对任意的n∈N *，an> 0，
1 = 2an+1 1 1 1 2由已知得 an+1 3a
，即 =
n an+1 3 a
+ 3 ，n
1
所以 a - 1=
1 1 -1 1，且 - 1= 1 ，
n+1 3 an a1 3
1 1 1
所以 -1 a 是首项为 3 ，公比为 3 的等比数列.n
( ) ( ) 1 - 1= 1
n n
2 由 1 知，a 3 ，∴ an=
3
，
n 3n+1
n+1
b = 3 3 1 1n
3n
= -
+1 3n+1+1 2 3n+1 3n+1+1 ，
∴ b1+ b2+ +b = 3 1 1 1 1 1n 2 4 - 10 + 10 - 28 + + n -
1
3 +1 3n+1+1 =
3 1 1 3
2 4 - < .3n+1+1 8
16．【详解】(1)由题意a= 2c= 2，从而a= 2，c= 1，b= 3
x2 y2
所以椭圆方程为 4 + 3 = 1．
y=kx+m(2)①由 x2 y2 消 y得 4k2+3 x2+ 8kmx+ 4m2- 12= 0(*)，4 + 3 =1
由Δ= (8km)2- 4 4k2+3 4m2-12 = 0，得m2= 4k2+ 3，
此时方程 (*)可化为：m2x2+ 8kmx+ 16k2= 0，
解得：x=- 4km (由条件可知：k，m异号)，
4k 4k
设P x0，y0 ，则x0=- m ，y0= kx0+m= k - m +m=
m2-4k2 3
m = m ，
3
P - 4k 3 m 3即 m ,m ，所以 k1= =- ，- 4k 4km
因为直线 l2:y= kx+n n≠0,n≠m ，
4
y=kx+n
由 x2 y2 消 y得 4k2+3 x2+ 8knx+ 4n2- 12= 0，4 + 3 =1
当Δ> 0时，方程有两个不相等的实根，
2
A x y B x y x + x = -8kn x x = 4n -12设 1，1 ， 2，2 ，则 1 2 2 ， 1 2 2 ，4k +3 4k +3
因为A，C两点关于原点对称，所以C -x1,-y1 ，
= y2+y
2
k 1 = kx2+n+kx1+n 2n 2n 4k +3所以， 2 x2+x1 x2+x
= k+
1 x2+x
= k+ = k- =
1 -8kn 4k
4k2+3
- 3 ，
4k
k
所以k 11= k2，故 = 1．k2
②设直线 l1与 y轴交于点Q，直线 l2与 y轴交于点N，则S△PAB=S△QAB，
S△OAB S= △OAB
ON n
于是 S△PAB S
= = ，
△QAB QN m-n
由①可知：OP BC，若O,P,B,C四点围成的四边形为平行四边形，
则还需 OP = BC 2 2，即 OP = BC ，
4k 3 2
由①可知：P - m ,m OP
2= 16k +9，所以 2 ．m
又B x2，y2 ，C -x1,-y1 ，
2 2 4n2 16k2+9
所以 BC 2= x +x 2+ y +y 2= -8kn 1 2 1 2 4k2+3 +
6n = ，
4k2+3 4k2+3 2
OP 2= BC 2由 可得：4m2n2= 4k2+3 2 ，
又m2= 4k2+ 3，所以m2= 4n2，即m=±2n，
S
m= 2n △OAB
S△OAB ON n
当 时，S = S = = m-n = 1；△PAB △QAB QN
S△OAB Sm=-2n = △OAB
ON
当 时，S S = =
n = 1 ．
△PAB △QAB QN m-n 3
1
17．【详解】(1)当a=-1时，f x = x -1 ln x+1 ，
则 f x
1 1 1
=- 2 × ln x+1 + x -1 × x+1 ，x
据此可得 f 1 = 0,f 1 =-ln2，
函数在 1,f 1 处的切线方程为 y- 0=-ln2 x-1 ，
即 ln2 x+ y- ln2= 0.
(2) 1令 g x = f x = x+a ln
1
x +1 ，
1 x+1
函数的定义域满足 x + 1= x > 0，即函数的定义域为 -∞,-1 ∪ 0,+∞ ，
5
x=- 1定义域关于直线 2 对称，由题意可得 b=-
1
2 ，
g - 1由对称性可知 2 +m = g -
1
2 -m m>
1
2 ，
取m= 32 可得 g 1 = g -2 ，
a+1 ln2= a-2 ln 1 a+ 1= 2- a a= 1即 2 ，则 ，解得 2 ，
1 1 1 1
经检验a= 2 ,b=- 2 满足题意，故a= 2 ,b=- 2 .
1 1
即存在a= 2 ,b=- 2 满足题意.
(3) 1由函数的解析式可得 f x = - 2 ln x+1 1 1 + x +a x+1 ，x
由 f x 在区间 0,+∞ 存在极值点，则 f x 在区间 0,+∞ 上存在变号零点;
- 1令 2 ln x+1 1 1 + x +a x+1 = 0，x
则- x+1 ln x+1 + x+ax2 = 0，
令 g x = ax2+ x- x+1 ln x+1 ，
f x 在区间 0,+∞ 存在极值点，等价于 g x 在区间 0,+∞ 上存在变号零点，
g x = 2ax- ln x+1 ,g x = 2a- 1 x+1
当a≤ 0时，g x < 0，g x 在区间 0,+∞ 上单调递减，
此时 g x < g 0 = 0，g x 在区间 0,+∞ 上无零点，不合题意;
1
当a≥ 2 ，2a≥ 1
1
时，由于 x+1 < 1，所以 g
x > 0,g x 在区间 0,+∞ 上单调递增，
所以 g x > g 0 = 0，g x 在区间 0,+∞ 上单调递增，g x > g 0 = 0，
所以 g x 在区间 0,+∞ 上无零点，不符合题意；
当 0< a< 1 1 12 时，由 g x = 2a- x+1 = 0可得x= 2a - 1，
x∈ 0, 1当 2a -1 时，g x < 0，g x 单调递减，
1
当x∈ 2a -1,+∞ 时，g x > 0，g x 单调递增，
故 g 1 x 的最小值为 g 2a -1 = 1- 2a+ ln2a，
令m x = 1- x+ lnx 0 0，
函数m x 在定义域内单调递增，m x 据此可得 1- x+ lnx< 0恒成立，
则 g 12a -1 = 1- 2a+ ln2a< 0，
由一次函数与对数函数的性质可得，当 x→+∞时，
g x = 2ax- ln x+1 →+∞，
6
且注意到 g 0 = 0，
根据零点存在性定理可知:g x 在区间 0,+∞ 上存在唯一零点x0.
当x∈ 0,x0 时，g x < 0，g x 单调减，
当x∈ x0,+∞ 时，g x > 0，g x 单调递增，
所以 g x0 < g 0 = 0.
令n x = lnx- x 1 1 2- x，则n x = x - = ，2 x 2x
则函数n x = lnx- x在 0,4 上单调递增，在 4,+∞ 上单调递减，
所以n x ≤n 4 = ln4- 2< 0，所以 lnx< x，
所以 g 42 = 4 +1a a2
a 4 +1 -ln 42 2 +1 - 1-a4 -2a+1 a a 2 +1a
> 4 4 4 a2 +1 a +a-ln a2 +1 +a-1-2a+1
= 42 +1 4 a -ln
4
2 +1 > 4 4 4a a a2 +1 a - a2 +1
16 - 42 2 -1
12
4 a a 4 2
-1
> 2 +1 = 2 +1 a > 0，a 4 + 4a 2 +1 a 4a + 42 +1a a
所以函数 g x 在区间 0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.
1
综合上面可知：实数a的取值范围是 0, 2 .
18．【详解】(1)令S1= 1,2,3,4 ，①S1= 1,2 ∪ 3,4 ，3+ 4= 7≠ 3k k∈N * ；
②S1= 1,3 ∪ 2,4 ，1+ 3= 4≠ 3k k∈N * ；③S1= 1,4 ∪ 2,3 ，1+ 4= 5≠
3k k∈N * ，
综上所述，4不是可分数，
令S = 1,2,3,4,5,6 ，S = 1,2 ∪ 3,6 ∪ 4,5 ，由 1+ 2= 3，3+ 6= 4+ 5= 322 2 ，
则 6是可分数.
(2)由 81= 34，且 1+ 80= 81，则令S= 1,2,3, ,80 ，
由S= 1,80 ∪ 2,79 ∪ ∪ 40,41 ，且 1+ 80= 2+ 79= = 40+ 41= 81= 34，
则 80是小于 81最大的可分数.
(3)设偶数n为可分数，则存在k∈N使得 3k由 n+ (n- 1)< 2 3k+1< 3k+2可知二元子集中两元素和的最大值为 3k+1，
于是集合S中所有大于等于 3k的整数所在二元子集中两元素之和均为 3k+1，
于是n必定与 3k+1-n在同一个二元子集中，
n- 1必定与 3k+1- (n- 1)在同一个二元子集中，
3k+1-1 3k+1
2 必定与
+1
2 在同一个二元子集中，
7
3k+1n≤ -1若 ，由 3k+12 -n≥n+ 1可知 3
k+1-n不属于集合S，
故无法对n进行分组，此时n不是可分数；
3k+1+1
若 ≤n< 2 3k，则分组之后还剩下大于等于 3k的整数 3k+12 -n- 1，
此时n不是可分数；
若 2 3k≤n< 3k+1- 1，则分组之后还剩下 1,2,3, ,3k+1-n- 1，
因为 3k+1-n- 1< 3kk+1 k+1
若 n= 3k+1- 1，则可将S划分成以下各组： 1,3k+1-1 , 2,3k+1-2 , , 3 -1 3 +1 2 , 2 ，
每组中两元素之和均为 3k+1，因此此时n是可分数，
由于小于 3n的可分数的个数为an，则an+1= 2an+ 1，
又小于 3的可分数只能为 2，则a1= 1，于是an+1+ 1= 2 an+1 ，
故 an+1 是首项为a1+ 1= 2，公比为 2的等比数列，
则an+ 1= 2n，于是an= 2n- 1，
= a
n n
又 b n 2n n = 3 -
1
3 ，3
2
n n
3 1-
2 1 3 3 1-
1
3 = - n n因此Sn = 2- 2 2 - 1 + 1 1 = 3 -
1- 2 1 3 2 2 3 23 1- 3
1 4 2n-1 3
2 n < 2 .3
8