2.1 第1课时 对顶角、余角与补角
【素养目标】
1.知道平面内两条直线的位置关系.
2.知道对顶角、补角、余角等概念.
3.能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题.
【重点】
了解两条直线的相交和平行关系.
【自主预习】
拿出两支笔,用它们代表两条直线,随意移动笔,观察笔与笔之间有哪几种位置关系.
【参考答案】
平行、相交、重合.
1.如图,能相交的是 ,一定平行的是 .(填图形序号)
2.在同一平面内,两条直线的位置关系有 ( )
A.相交、垂直
B.相交、平行
C.垂直、平行
D.相交、垂直和平行
3.如图,直线a,b相交,∠1=130°,则∠2+∠3的度数为 ( )
A.50° B.100° C.25° D.130°
【参考答案】
1.③ ⑤ 2.B 3.B
【合作探究】
平面内两条直线的位置关系
阅读课本第34页“观察·交流”之前的内容,回答下列问题:
讨论:在一个平面内,两条直线(不重合)是不是要么有交点,要么不会有交点
【参考答案】
讨论:是的.重合的直线只能算是一条直线.
1.若两条直线 ,我们称这两条直线为相交线.
2.在同一平面内, 的两条直线叫作平行线.
【参考答案】
1.只有一个公共点
2.不相交
1.下列说法正确的是 ( )
A.不相交的两条直线是平行线
B.在同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线
C.在同一平面内,两条直线不相交就重合
D.在同一平面内,不相交的两条射线叫作平行线
2.下列生活实例中,属于平行线的有 ( )
①交通路口的斑马线;②天上的彩虹;③体操方阵中纵队所在的直线;④百米跑道线;⑤火车的水平铁轨直线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【参考答案】
1.B
2.D
对顶角的定义及性质
阅读课本第34页“观察·交流”的内容,回答下列问题:
1.观察:如图,直线AB与CD相交,∠1与∠2有公共顶点O,两边OA与OB,OC与OD互为 线.∠3与 也有这样的关系,这样的两个角叫作 角.
2.思考:(1)在第1题的题图中,∠1+∠3= °,∠2+∠3= °,可知∠1与∠2 .
(2)∠3与∠4有没有这种数量关系 试说明理由.
【参考答案】
1.反向延长 ∠4 对顶
2.(1)180 180 相等
(2)有,∠3与∠4相等.理由同上,略.
对顶角 .
【参考答案】
相等
1.下列选项中,∠1和∠2是对顶角的是 ( )
A B
C D
2.如图,直线AB与CD相交于点O,过O点作射线OE,下列选项中的两个角是对顶角的是( )
A.∠1与∠4
B.∠1与∠3
C.∠3与∠5
D.∠2与∠4
【参考答案】
1.A 2.D
补角、余角的定义及性质
阅读课本第35页“观察·思考”和“思考·交流”的内容,回答下列问题:
观察课本“图2-4”中所有互余、互补的角,讨论:
(1)已知∠1+∠3=90°,若∠1+∠4=90°,则∠3 ∠4,结论:同角的余角 .
(2)若∠1=∠2,∠3=90°-∠1,∠4=90°-∠2,则∠3 ∠4,结论:等角的余角 .
(3)∠1+∠AOC=180°,若∠1+∠5=180°,则∠AOC ∠5,结论:同角的补角 .
(4)∠AOC=180°-∠1,∠BOD=180°-∠2,且∠1=∠2,则∠AOC ∠BOD,结论:等角的补角 .
【参考答案】
(1)= 相等
(2)= 相等
(3)= 相等
(4)= 相等
1.如果两个角的和是90°,那么这两个角互为 ;如果两个角的和是180°,那么这两个角互为 .
2.同角或等角的余角 ;同角或等角的补角 .
【参考答案】
1.余角 补角
2.相等 相等
1.下列各图中,∠1与∠2互为邻补角的是( )
A B
C D
2.若∠α=32°5',则它的余角的度数是 ( )
A.57°55' B.58°55'
C.147°55' D.148°55'
3.下列说法中,正确的是 ( )
A.大于直角且小于周角的角是钝角
B.互补的两个角必定一个是锐角,一个是钝角
C.两个锐角不能互为补角
D.如果∠A=20°,∠B=70°,∠C=90°,那么∠A,∠B,∠C互为补角
【参考答案】
1.D 2.A 3.C
对顶角的性质应用
例1 如图,利用工具测量角,则∠1的大小为 ( )
A.30° B.60° C.40° D.50°
变式训练
如图,小明测出∠COD=110°,则两堵围墙所形成的∠AOB的度数为 ( )
A.70° B.90° C.110° D.250°
【参考答案】
例1 A
变式训练 C
余角、补角的定义与性质的应用
例2 如图,直线AB与CD相交于点O,若∠2=115°,则∠1+∠3= ( )
A.65° B.120° C.130° D.150°
变式训练
图1是一把剪刀,把它抽象为图2,如果∠1+∠2=80°,那么∠3的度数是 ( )
A.140° B.120° C.80° D.40°
【参考答案】
例2 C
变式训练 A
相交线的交点个数
例3 同一平面内有三条直线,如果只有两条平行,那么它们交点的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
变式训练
观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字.像这样的10条直线相交,最多的交点个数为 .
【参考答案】
例3 C
变式训练 452.1 第2课时 垂 直
【素养目标】
1.知道垂直和垂线的概念.
2.知道两条直线互相垂直的符号表示方法.
3.了解有关两条直线互相垂直的一些性质,理解垂线的性质、垂线段最短的性质以及点到直线的距离.
【重点】
理解并掌握垂线的概念及性质,了解点到直线的距离.
【自主预习】
1.在同一平面内,两条直线的位置关系有 和 两种.
2.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为 .
3.在同一平面内,不相交的两条直线叫作 .
【参考答案】
1.相交 平行
2.相交线
3.平行线
1.如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的度数为 .
2.在木条转动过程中,存在一条直线a与直线b不相交的情形,这时我们说直线a与b互相 .记作“a b”.
在同一平面内,不相交的两条直线叫作 .
注意:平行线的定义包含三层意思:
(1)“在同一 ”是前提条件;
(2)“不相交”就是说两条直线没有 ;
(3)平行线指的是“两条 ”而不是两条射线或两条线段.
【参考答案】
1.30°
2.平行 ∥ 平行线
(1)平面内
(2)交点
(3)直线
【合作探究】
垂直的定义
阅读课本第37页“思考·交流”及之前的内容,回答下列问题:
1.讨论:如“图2-6”,在两条相交的直线形成的四个角中,若∠AOC=90°,则对顶角∠BOD= ,补角∠BOC= ,∠AOD= .
2.图2-8中小颖的想法 (填“正确”或“不正确”),第一步的依据是 ,第二步的依据是 .如果OC⊥AB,那么∠AOC=∠BOC= °,依据是 .
【参考答案】
1.90° 90° 90°
2.正确 平角的定义 垂直的定义 90 垂直的定义
两条直线AB和CD相交所成的4个角中,有一个角是 ,就说这两条线互相 .其中一条线是另一条线的垂线,记作 ,交点O叫作 .
【参考答案】
直角 垂直 AB⊥CD 垂足
1.下列说法中,正确的是 ( )
A.相交的两条直线叫作垂直
B.经过一点可以画两条直线
C.平角是一条直线
D.两条直线相交,只有一个交点
2.利用三角尺或量角器判断,连接图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是 ( )
A.点M和点N B.点P和点Q
C.点M和点Q D.点N和点P
【参考答案】
1.D 2.C
垂线的作法
阅读课本第37页“尝试·思考”的内容,回答下列问题:
1.操作:用一张纸折出两条互相垂直的折痕.
2.思考:如何用直尺在如图所示的网格图中作已知两条直线的垂线 试着画一画,并用量角器验证是否垂直.
【参考答案】
2.画图略.
过点P作直线l的垂线CD,下面三角板的摆放正确的是 ( )
A B
C D
【参考答案】
A
垂线的性质
阅读课本第37页“尝试·交流”的内容,回答下列问题:
1.操作:在课本“图2-10”中,请用量角器或三角板过点A,作出直线l的垂线.
2.思考:通过上述方法画出的垂线有 条.
【参考答案】
2.1
1.同一平面内,过一点有且只有 条直线与已知直线垂直.
2.过直线外一点向已知直线作垂线时,这一点与垂足之间的线段叫作 .
垂线段的长度叫作点P到直线l的 .
3.直线外一点与直线上各点所连的所有线段中, .
【参考答案】
总结 1.一
2.垂线段 距离
3.垂线段最短
如图,数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作:经过线段AB外一点C,画线段AB的垂线段CD,并测量.同学们发现:点C到点A,B的距离均大于点C到点D的距离.这其中蕴含的数学原理是 ( )
A.点到直线的垂线段的长度
B.直线外一点到直线上各点的连线中,垂线段最短
C.两点确定一条直线
D.两点之间的所有连线中,线段最短
【参考答案】
B
垂直定义在判断两直线位置关系中的应用
例1 如图,在方格纸中给出了线段AB,CD,MN.根据你所学的知识和方法,写出它们之间的位置关系.
变式训练
如图,已知直线AB,CD都经过O点,OE为射线,若∠1=35°,∠2=55°,则OE与AB的位置关系是 .
【参考答案】
例1 解:如图,延长CD,由网格的特点可知CD,
MN交于点M,CD∥AB,∠MCE=∠NME.
因为∠MCE+∠CME=90°,
所以∠CME+∠NME=90°,即∠CMN=90°,
所以CM⊥MN,所以CD⊥MN,AB⊥MN.
变式训练 OE⊥AB
垂直定义在求角中的应用
例2 如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°,求∠BOE和∠AOC的度数.
变式训练
如图,点O在直线BD上,OC⊥OA于点O,若∠AOB=20°,则∠COD的度数为( )
A.20° B.70° C.110° D.120°
【参考答案】
例2 解:因为OE⊥CD,OF⊥AB,
所以∠BOF=∠DOE=90°,
所以∠BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°,
所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=90°-25°=65°,
而∠AOC=∠BOD=25°(对顶角相等).
变式训练 C
垂线段公理在现实中的应用
例3 体育课上,老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远,成绩的示意图如图所示,PN的长为丽丽同学的跳远成绩,其依据是( )
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
变式训练
如图,要把河流中的水引到水池A中,应过点A作AB⊥CD于河岸B,这样做依据的几何学原理是 ( )
A.垂线段最短
B.点到直线的距离
C.两点确定一条直线
D.两点之间线段最短
【参考答案】
例3 C
变式训练 A
