2.2 第1课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理
【素养目标】
1.会识别同位角,会利用同位角相等判别直线平行的结论.
2.熟记平行公理,会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
3.理解平行公理的推论.
【重点】
在操作、观察的基础上总结出同位角与直线平行的条件.
【自主预行线的定义是什么
【参考答案】
在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线.
观察如图所示的长方体.
(1)用符号表示下列两条棱的位置关系:AB EF,EA AB,HE HG,AD BC;
(2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线,它们 平行线(填“是”或“不是”),由此可知,在 内,不相交的两条直线才能叫作平行线.
【参考答案】
(1)∥ ⊥ ⊥ ∥
(2)不是 同一平面
【合作探究】
两直线平行的判定
阅读课本第42页“尝试·思考”之前的内容,回答下列问题:
1.(1)观察:∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠ ,∠4与 的位置关系.
(2)揭示概念:两条直线a和b被第三条直线c所截,分别在直线a和b同一侧,位于直线c同旁的一对角叫作 .
2.量一量:在课本“图2-16”中,用量角器分别量一量三个图中的∠1与∠2的大小.
(1)图①中,∠1比∠2 ,木条a与木条b (填“平行”或“不平行”).
(2)图②中,∠1与∠2 ,木条a与木条b (填“平行”或“不平行”).
(3)图③中,∠1比∠2 ,木条a与木条b (填“平行”或“不平行”).
【参考答案】
1.(1)7 ∠8
(2)同位角
2.(1)大 不平行
(2)相等 平行
(3)小 不平行
同位角 ,两直线 .
【参考答案】
相等 平行
平行线的作法
阅读课本第42页“尝试·思考”的内容,回答下列问题:
1.操作:按下列步骤,用直尺和三角板,过点P画出已知直线a的平行线.
(1)将三角板的一边靠在已知直线上;
(2)直尺靠在三角板的另一边上;
(3)再使三角板靠在直尺上移动到已知点P,沿三角板的边缘画直线b.
2.思考:这样画平行线的根据是 角相等,两直线 .
【参考答案】
2.同位 平行
如图,在△ABC中,点D在BC边上.请用尺规作图法,在AC边上求作一点E,使得DE∥AB.(保留作图痕迹,不写作法)
【参考答案】
解:如图,点E即所求.
平行公理及推论
阅读课本第43页“操作·思考”的内容,回答下列问题:
1.(1)讨论:在“知识点二”的第一个问题中,你能画出几条直线b
(2)结论1:过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行.
2.(1)操作:按知识点二中的步骤,分别过点P,Q画出已知直线a的平行线.
(2)讨论:画出的两条直线是否会相互平行
(3)结论2:平行于同一条直线的两条直线 ,即平行具有传递性.
【参考答案】
1.(1)1条. (2)一
2.(1)图略 (2)会平行. (3)平行
1.过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行.
2.平行于同一条直线的两条直线 ,即平行具有传递性.
【参考答案】
1.一 2.平行
四条直线a,b,c,d互不重合,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么直线a,d的位置关系为 .
【参考答案】
a∥d
判断同位角的方法
例1 下列图形中,∠1和∠2是同位角的是 ( )
A B C D
【参考答案】
例1 D
平行公理的应用
例2 如图,这是一个可折叠衣架,AB是地面,当PM∥AB,PN∥AB时,就可以确定点N,P,M在同一直线上,这样判定的依据是 ( )
A.两点确定一条直线
B.内错角相等,两直线平行
C.平行于同一直线的两直线平行
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【参考答案】
例2 D 2.2 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
【素养目标】
1.了解内错角和同旁内角的定义,掌握“内错角相等,两直线平行”和“同旁内角互补,两直线平行”两种判定方法.
2.灵活运用两种判定方法,证明两直线平行,解决角度的计算和转换问题.
3.会用尺规作图过直线外一点作已知直线的平行线.
【重点】
会识别内错角、同旁内角;能用内错角相等、同旁内角互补判别两直线平行.
【自主预习】
1.结合上节课的学习内容,说一说如何判断两条直线平行
2.在如图所示的6个角中,同位角有 对,它们是 ;内错角有 对,它们是 ;同旁内角有 对,它们是 .
【参考答案】
1.寻找同位角,证明同位角相等,根据定理“同位角相等,两直线平行”,证出两条直线平行.
2.2 ∠1与∠6,∠3与∠5 2 ∠2与∠3,∠4与∠6
4 ∠1与∠2,∠2与∠4,∠4与∠5,∠1与∠5
如图,已知BE⊥MN,垂足为B,DF⊥MN,垂足为D,∠1=∠2.AB与CD平行吗 为什么
【参考答案】
解:AB与CD平行.理由如下:
因为BE⊥MN,DF⊥MN(已知),
所以∠MBE=90°,∠MDF=90°(垂直的定义),
即∠ABM+∠1=90°,∠CDM+∠2=90°.
又因为∠1=∠2(已知),
所以∠ABM=∠CDM(等角的余角相等),
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
【合作探究】
内错角相等,两直线平行
阅读课本第44页的内容,回答下列问题:
1.观察:如图,∠3与∠5,它们在两条直线 ,在截线EF的 ,这样关系的一对角叫作 角,图中是内错角的还有 .
2.(1)讨论:在图中,∠3与∠1是一对 角,所以∠3 ∠1.
(2)思考:若同位角∠1=∠5,则∠3 ∠5,此时AB与CD平行吗 为什么
【参考答案】
1.之间 两旁 内错 ∠4与∠6
2.(1)对顶 =
(2)= AB平行于CD;因为同位角相等,两直线平行.
(1)两直线被第三条直接所截,当同位角相等时,内错角 ;
(2)内错角 ,两直线 .
【参考答案】
(1)相等(2)相等 平行
图1是小强奶奶编的竹篓,图2是将其局部抽象成的图形,下列条件一定能判断直线a∥b的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠3=∠4 D.∠4=∠5
【参考答案】
B
同旁内角互补,两直线平行
阅读课本第44页的内容,回答下列问题:
1.观察:如图,∠3与∠6,它们在两条直线 ,在截线EF的 ,这样关系的一对角叫作 角,图中是同旁内角的还有 .
2.(1)讨论:在图中,∠3与∠2 ,所以∠3+∠2= °.
(2)思考:若同位角∠2=∠6,则∠3+∠6= °,此时AB与CD平行吗 为什么
【参考答案】
1.之间 同旁 同旁内 ∠4与∠5
2.(1)互补 180 (2)180
AB平行于CD;因为同位角相等,两直线平行.
(1)两直线被第三条直接所截,当同位角相等时,同旁内角 ;
(2)同旁内角 ,两直线 .
【参考答案】
(1)互补 (2)互补 平行
如图,下列条件能判定AB∥CD的是 ( )
A.∠AEC=∠ABF
B.∠CEF=∠BFE
C.∠AEF+∠CFE=180°
D.∠C=∠BFD
【参考答案】
C
同位角相等,两直线平行
1.操作:阅读课本第46页,按表格中的方法完成这个作图.
2.思考:(1)这个作图的依据是 ;
(2)你还有其他作图的思路吗
【参考答案】
2.(1)同位角相等,两直线平行 (2)略.
尺规作图的工具是 和 ,无刻度的直尺用来画 ,圆规用来截取 的长度.
【参考答案】
直尺 圆规 线 线段
1.画一个钝角∠AOB,然后以点O为顶点,以OA为一边,在角的内部画一条射线OC,使得∠AOC=90°,则正确的图形是 ( )
A B C D
2.如图,求作一个角等于已知角∠AOB.
作法:(1)作射线 ;
(2)以点 为圆心, 为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
(3)以点 为圆心, 为半径画弧,交O'B'于点D';
(4)以点D'为圆心, 为半径画弧,交前面的弧于点C';
(5)过点 作射线O'A';
∠A'O'B'就是所求作的角.
【参考答案】
1.(1)B O'B'
(2)O 任意长
(3)O' OC的长(或OD的长)
(4)CD的长
(5)C'
内错角与同旁内角的识别
例1 下图中,∠1与∠2,∠3与∠4各是哪一条直线截哪两条直线而成的 它们各是什么角
变式训练
如图,下列说法不正确的是 ( )
A.∠1和∠4是同位角
B.∠2和∠4是内错角
C.∠A和∠4是同旁内角
D.∠3和∠4是同旁内角
【参考答案】
解:题图1中,∠1与∠2是直线DE,BC被直线AB所截得的同位角;∠3与∠4是直线AB,AC被直线DE所截得的同旁内角.
题图2中,∠1与∠2是直线DE,AC被直线BD所截得的内错角;∠3与∠4是直线AE,BD被直线AC所截得的同旁内角.
题图3中,∠1与∠2是直线AB,DC被直线AC所截得的内错角;∠3与∠4是直线AD,BC被直线AC所截得的内错角.
变式训练 B
运用判定定理证明直线平行
例2 如图,∠1=∠2,∠3+∠4=180°,
试确定直线a与直线c的位置关系,并说明你的理由.
(1)问题的结论:a c.
(2)解思路分析:
欲证a c,需要证 ∥ 和 ∥ .
(3)解过程:
解:因为∠1=∠2,( )
所以a∥ .( )
因为∠3+∠4=180°,
所以c∥ .( )
因为a∥ ,c∥ ,
所以 ∥ .( )
变式训练
如图,因为∠CED=∠FDE,所以DF∥ ,根据是 .
【参考答案】
例2
(1)∥
(2)∥ a b c b
(3)已知 b 内错角相等,两直线平行 b 同旁内角互补,两直线平行 b b a c 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
变式训练
AC 内错角相等,两直线平行
平行线判定定理的跨学科应用
例3 物理实验发现:光线从空气射入玻璃中,会发生折射现象,光线从玻璃射入空气中,同样也会发生折射现象.如图,这是光线从空气射入玻璃中,再从玻璃射入空气中的示意图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,那么光线AB与CD是否平行 请说明理由.
变式训练
《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书,潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜,基于光的反射,可得到一组平行线.如图,这是潜望镜工作原理的示意图,它所依据的数学定理是 ( )
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.内错角相等,两直线平行
D.同旁内角互补,两直线平行
【参考答案】
例3 解:AB∥CD.理由:因为∠3+∠5=180°,∠4+∠6=180°(平角的定义),
又因为∠3=∠4(已知),所以∠5=∠6(等角的补角相等),又因为∠1=∠2(已知),所以∠1+∠5=∠2+∠6(等式性质),即∠ABC=∠BCD,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
变式训练 C
