华师大版七下（2024版）8.1.3三角形的三边关系学案

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第8章三角形
8.1.3 三角形的三边关系
学习目标与重难点
学习目标：
1.让学生通过作三角形(已知三条线段)的过程，发现“三角形任何两边之和大于第三边”，并会利用这个不等关系判断已知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的两边会求第三边的取值范围.
2.会利用三角形的稳定性解决一些实际问题.
学习重点：三角形任何两边之和大于第三边的应用.
学习难点：已知三角形的两边求第三边的范围.
预习自测
一、知识链接
1、不等式的基本性质有哪些？
2、关于线段的基本事实是什么？
自学自测
1.有下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A.1 cm，2 cm，3 cm B．1 cm，2 cm，4 cm
C.2 cm，3 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，6 cm
2.两根木棒的长分别是8 cm，10 cm，要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长x的取值范围是________；如果以5 cm为等腰三角形的一边，另一边为10 cm，那么它的周长为_______.
3.有一天小明对同学说：“我的步子大，一步能走三米(即两脚着地时，两脚的距离有三米)”．有的同学将信将疑，而小颖说：“小明，你在吹牛”．你觉得小颖的话有道理吗？
教学过程
一、创设情境、导入新课
路线1：沿从B到C再到A的路线走.
路线2：沿线段BA走.
请问：路线1、路线2哪条路程较短？你能说出根据吗？
二、合作交流、新知探究
探究一：情境导入
教材第89页：
在小学阶段，我们已经通过观察或度量，了解到三角形的任意两边之和大于第三边这样一个事实，
现在让我们通过画三角形的过程，再次体会这一结论.
探究二：新知探究
教材第89页：做一做
画一个三角形，使它的三条边长分别为4cm、3cm、2.5cm.
思考：为什么要以定点和定长画圆弧？
活动二：
试一试：
现有长2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长.你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？
总结：因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形.
在三条线段中，如果两条较短线段的和不大于第三条线段，那么这三条线段就不能组成一个三角形.
换句话说：
三角形的任何两边的和大于第三边.
【思考】你能否利用前面学过的线段的基本事实来说明这一结论的正确性
想一想：有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，用长度为3 cm的木棒行吗 长度为14cm的木棒呢 为什么
思考：如果已有两条线段，要确定第三条是什么样的长度才能使它们构成三角形
总结：第三边的取值范围是大于这两边的差而小于这两边的和.
活动三：三角形的稳定性
用三根木条钉一个三角形， 你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小， 也就是说，如果三角形的三条边固定， 那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
用四根木条钉一个四边形， 你会发现这个四边形的形状和大小都可以改变， 这说明四边形不具有稳定性.。
三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用. 如图 8.1.18 是位于中国新疆维吾尔自治区境内的果子沟大桥， 它是新疆重要民生工程， 其拉索就是三角形结构.
讨论：你能举出三角形的稳定性在生产、生活中应用的例子吗
探究三：例题讲解
例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)3，4，5；(2)5，6，11；(3)5，6，10。
例2：已知△ABC的三边长分别为m2，2m+1，8.
(1)求m的取值范围；
(2)若△ABC的三边长均为整数，求△ABC的周长.
三、课堂练习、巩固提高
必做题：
1.下列三条线段不能构成三角形的是(　　)
A.4cm，2cm，5cm
B.3cm，3cm，5cm
C.2cm，4cm，3cm
D.2cm，2cm，6cm
2.两根长度分别为5cm，9cm的钢条，下面为第三根的长，则可组成一个三角形框架的是(　　)
A.3cm B.4cm
C.9cm D.14cm
3.下列图形中，具有稳定性的是(　　)
A. B. C. D.
选做题：
4.三角形的三边长分别为3，8，x，则x的取值范围是　 　.
5.已知三角形的两边长a3，b7，若第三边的长c为偶数，求其周长.
【综合拓展类作业】
6．某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表．学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为2 m和5 m的钢管，还需要购买一根．
规格/m 1 2 3 4 5 6
价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35
(1)有哪几种规格的钢管可供选择？
(2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则一共需要花多少钱购买钢管？
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
知识点：1、三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边.
2、三角形的两边之差小于第三边.
3、三角形具有稳定性.
4、四边形具有不稳定.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列是利用了三角形的稳定性的有( )
①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④信号塔上部的三角形结构．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是( )
A．1 B．5 C．7 D．9
3．如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA＝8 m，PB＝6 m，那么A、B之间的距离不可能是( )
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
选做题：
4．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3，4，5，7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知a、b、c为三角形的三边，则|c－a－b|＋|b＋c－a|化简后的值为( )
A．2b B．a＋b C．2c D．2c－2a
6．一个三角形的三条边长分别为6，7，x＋1，则x的取值范围是________．
7．在△ABC中，BC＝10，AB＝2.
(1)若AC是偶数，求AC的长；
(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为20，求△BCD的周长．
【综合拓展类作业】
8．若三边均不相等的三角形三边长a、b、c满足a-b>b-c(a为最长边的长，c为最短边的长)，则称它为“不均衡三角形”.例如：一个三角形三边长分别为7，5，4，因为7-5>5-4，所以这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的有　　　　(填序号).
①4 cm，2 cm，1 cm;②13 cm，18 cm，9 cm;③19 cm，20 cm，19 cm;④9 cm，8 cm，6 cm.
(2)已知“不均衡三角形”三边长分别为2x+2，16，2x-6(x为整数)，求x的值.
答案：
自学测试：
1、C
2、2cm3、有道理
课堂巩固：
1.D
2.C
3.B
4.5＜x＜11
5.解：∵ 三角形的两边长a3，b7，第三边长为c，
∴ 根据三角形三边关系可得4＜c＜10.
∵ 第三边的长c为偶数，
∴ c取6或8，
则其周长为6+3+716或8+3+718.
6．解：(1)设第三根钢管的长度为x m，则5－2＜x＜5＋2，即3＜x＜7.
∴长度为4 m、5 m、6 m的钢管可供选择．
(2)∵三角形支架的周长为偶数，
∴三边长分别为2 m、5 m、5 m.
∵15×1＋30×2＝75(元)，
∴一共需要花75元购买钢管．
作业布置：
1．C 解析：①③④均利用了三角形的稳定性．故选C.
2．B 解析：由题意，得4－33．D 解析：由三角形三边关系，得8－6＜AB＜8＋6，∴2＜AB＜14.
∴A、B之间的距离不可能是14 m．故选D.
4．D 解析：已知4条木棍的长分别为3，4，5，7；
①选3＋4，5，7组成三角形，则三边长为7，5，7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；
②选5＋4，7，3组成三角形，则三边长为9，7，3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
③选5＋7，3，4组成三角形，则三边长为12，4，3，而4＋3＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选7＋3，5，4组成三角形，则三边长为10，5，4，而5＋4＜10，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间的距离的最大值为9.故选D.
5．A 解析：∵a、b、c是三角形的三边，∴c－a－b＜0，b＋c－a＞0.
∴|c－a－b|＋|b＋c－a|
＝－(c－a－b)＋(b＋c－a)
＝a＋b－c＋b＋c－a
＝2b.故选A.
6．0＜x＜12 解析：由题意，得7－6＜x＋1＜7＋6，解得0＜x＜12.
7．解：(1)由三角形的三边关系可知10－2＜AC＜10＋2，即8＜AC＜12.
∵AC是偶数，
∴AC＝10.
(2)∵△ABD的周长为20，
∴AB＋AD＋BD＝20.
∵AB＝2，
∴AD＋BD＝18.
∵BD是△ABC的中线，如图，
∴AD＝CD.
∴CD＋BD＝18.
∵BC＝10，
∴△BCD的周长＝BC＋CD＋BD＝18＋10＝28.
8．解析　(1)①∵1+2<4，∴不能组成“不均衡三角形”;
②∵18-13>13-9，∴能组成“不均衡三角形”;
③∵19=19，∴不能组成“不均衡三角形”;
④∵9-8<8-6，∴不能组成“不均衡三角形”.
故答案为②.
(2)①16-(2x+2)>2x+2-(2x-6)，解得x<3，由2x-6>0，得x>3，矛盾，故不合题意;
②2x+2>16>2x-6，解得716-(2x-6)，解得x>9，∴9③2x-6>16，解得x>11，2x+2-(2x-6)>2x-6-16，解得x<15，∴11∵x为整数，∴x=12或13或14，当x=12或13或14时，都可以组成三角形.
综上所述，x的值为10或12或13或14.
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