2024-2025学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期第一次月考（3月）数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.设数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知火箭发射秒后，其高度单位：米为，则火箭发射后第秒时，火箭爬高的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
5.设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上若，则( )
A. B. C. D.
6.已知经过点且倾斜角为的直线与圆相离，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，点，在轴上方将四边形绕轴旋转，得到几何体，则几何体的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的极大值点为，极大值为，则( )
A. B. 有个零点
C. D. 在上单调递增
10.在数列中，，，，是数列的前项和，则( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列
C. D.
11.已知正方体的棱长为，且，，，，则( )
A. 当时，
B. 当时，平面
C. 当时，面积的最小值为
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程是 ．
13.已知椭圆的左、右焦点分别是，，过点的直线与椭圆交于，两点若，且，则椭圆的离心率为 ．
14.如图，在中，，，点满足，以为直角边向的外部作，其中点满足，以为直角边向的外部作，其中依此方法一直继续下去，设的面积为，的面积为，的面积为，，的面积为设数列的前项和为，则 若对任意，恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在等差数列中，，．
求的通项公式
若，，成等比数列，求的值
设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在空间几何体中，平面，，．，，，分别为，的中点．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知为双曲线的左顶点，为双曲线的右焦点，斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点设直线的斜率为，直线的斜率为．
求双曲线的标准方程．
试问是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由．
18.本小题分
设数列满足．
求的通项公式．
求的前项和
(ⅱ)证明：
19.本小题分
若连续函数的极值点，是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数已知函数．
设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值．
设函数，函数已知是的强化原生函数．
(ⅰ)证明：．
(ⅱ)求的强化原生系数的最小值．
参考答案
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15.解：设数列的公差为，由题意得，
所以的通项公式为．
依题意得，
则，得．
由，得，
则．
16.证明：由平面，，，易得四边形是矩形．
连接，则为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，所以．
因为平面，平面，所以平面．
解：连接因为为的中点，，所以．
因为，，
所以四边形为矩形，所以，则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
设，由题意可得，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
由取．
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：解：根据题意可得，解得，
故双曲线的标准方程为．
是定值．
证明如下：设，因为直线过点，所以直线的斜率存在．
设直线，由，得，
由题意得且，得，，
，．
因为为双曲线的左顶点，所以，，，
所以
，
故是定值，该定值为．
18.解：当时，，得．
当时，由，
得，
两式相减，得，
得，
当时，满足，
所以数列的通项公式为．
解：由题意得，
则，
所以，
所以．
证明：由可得，则，
要证，即证．
设函数，，则，
所以在上单调递增，则，
即当时，，
令，则，即，故
19.解：证明：依题意得，，则．
设函数，则，所以在上单调递增，即在上单调递增．
因为，，
所以存在唯一零点，使得．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以有唯一极值点，且，
故满足的整数的值为．
证明：依题意得，．
令，得，，易得有两个极值点．
设的极值点是，，则，，所以．
因为，是函数的零点，所以，是关于的方程的两个解，即，，
两式相加，得，整理得．
因为函数在上单调递减，所以，故．
解：设，则．
因为，所以，
则．
所以，则的强化原生系数为．
因为函数在上单调递增，所以当时，有最小值，，
即的强化原生系数的最小值为．
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