4.4 利用三角形全等测距离 导学案（含答案） 2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

4.4　利用三角形全等测距离
【素养目标】
1.能利用三角形全等解决无法直接测量距离之类的实际问题,体会数学与实际生活之间的联系.
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
【重点】
能利用三角形全等解决无法直接测量距离之类的实际问题.
【自主预习】
1.判断两个三角形全等一般要知道几个条件
　　　　
2.回忆判断两个三角形全等有哪些方法
【参考答案】
1.三个条件.
2.边边边(SSS),角边角(ASA),角角边(AAS),边角边(SAS).
如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,CD=AB,过点C作CE∥AB且CE=BC,连接DE并延长,分别交AC,AB于点F,G.若∠B=50°,∠D=25°,则∠AFG的度数为　　　　.
【参考答案】
　80°
【合作探究】
构建全等三角形测距离
阅读课本第110-111页的内容,回答下列问题:
1.观察教材“图4-32”,说一说:
(1)图中有几个三角形
　　　　
(2)这些三角形中,有哪些边对应相等,哪些角对应相等 为什么
　　　　
(3)这两个三角形全等吗 依据是什么
　　　　
(4)由这两个三角形全等的性质,我们可知人物与碉堡的距离　　　　人物与树的距离,因此我们只需要测量　　　　的距离.
2.思考:(1)“图4-33”中的△ACB与△DCE全等吗 依据是什么
　　　　
(2)由这两个三角形全等的性质,我们可知池塘的宽度等于　　　　,要测量池塘的宽度,只需要测量　　　　的距离.
【参考答案】
1.(1)两个三角形.
(2)人物身高为两个三角形公共边,对应相等;人物直立,两个角都为直角,对应相等;帽子向下压的角度对应相等.
(3)全等,ASA.
(4)等于　人物与树
2.(1)全等,SAS.
(2)DE　DE
　　测量两点间距离问题的常见思路:
如图,为了测量水池两边A,B间的距离,可以先过点A作射线AE,再过点B作BD⊥AE于点D,在AD延长线上截取DC=AD,连接BC,则BC的长就是A,B间的距离,用来判定△ABD≌△CBD的理由是(　　)
A.HL B.SAS C.ASA D.AAS
【参考答案】
B
测量凹形物体内部的宽度
例1　如图,将两根钢条AA'和BB'的中点O连在一起,使AA'和BB'可以绕着点O自由转动,这样就做成了一个测量工具,则A'B'的长就等于槽内宽AB,请说明理由.
变式训练
如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点.只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是 (　　)
A.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C.三边分别相等的两个三角形全等
D.两点之间线段最短
【参考答案】
例1　解:在△AOB和△A'OB'中,因为OA=OA',∠AOB=∠A'OB',OB=OB',所以△AOB≌△A'OB',所以AB=A'B',即A'B'的长等于槽内宽AB.
变式训练　B　
测量建筑物的高度
例2　某城市搞亮化工程,如图,在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.已知A灯恰好照到B灯,B灯恰好照到甲楼的顶部.如果两盏灯的光线与水平线的夹角是相等的,那么能否说甲楼的高度是乙楼的2倍 说说你的看法.
变式训练
如图,小虎用10块相同的长方体小木块(高为3 cm)垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和点B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离DE的长度为 (　　)
A.30 cm B.27 cm C.24 cm D.21cm
【参考答案】
题型2
例2　解:能.理由如下:
在△ABD和△CBD中,
所以△ABD≌△CBD(ASA).
所以AD=CD,所以AC=2AD.
因为AD=BE,所以AC=2BE,
即甲楼的高度是乙楼的2倍.
变式训练　A