5.2 第3课时 角平分线的性质 导学案（含答案） 2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

5.2 第3课时　角平分线的性质
【素养目标】
1.掌握角的平分线有关性质.
2.利用角平分线的性质解决问题.
3.尺规作图作一个角的角平分线.
【重点】
探索角平分线的有关性质.
【自主预习】
1.什么是轴对称图形 它的对称轴是什么
2.角是轴对称图形吗 如何验证你的结论
【参考答案】
1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫作轴对称图形,这条直线叫作对称轴.
2.角是轴对称图形,用对折的方法验证.
1.如图,若∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,则下列结论中错误的是 (　　)
A.AD是∠BAC的平分线
B.CE是∠ACD的平分线
C.∠BCE=∠ACB
D.∠DCE=∠CAE
2.如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是(　　)
A.BF=CF
B.∠C+∠CAD=90°
C.∠BAF=∠CAD
D.S△ABC=2S△ABF
【参考答案】
1.D　2.C
【合作探究】
角的轴对称性
阅读课本第131页“尝试·思考”之前的内容,回答下列问题:
1.折一折:在一张纸上任意画一个角,将角对折,使得角的两边重合,用量角器量一量折痕与两边构成的夹角,则折痕　　　　这个角.
2.思考:角是轴对称图形吗 角的对称轴与角的关系如何
【参考答案】
1.D　2.C
　　角平分线所在的直线是角的　　　　.
【参考答案】
　对称轴
角是轴对称图形,它的对称轴是 (　　)
A.角平分线
B.角平分线所在的射线
C.角平分线所在的线段
D.角平分线所在的直线
【参考答案】
D
角平分线的性质
阅读课本第131页“尝试·思考”的内容,回答下列问题:
1.如图5-19中,OD　　　　OD',∠DOC　　　　∠D'OC,OC=OC',由　　　　定理可得△COD　　　　△COD',所以CD　　　　CD'.
2.如图5-20中,∠DOC　　　　∠D'OC,∠CDO　　　　∠CD'O=90°,OC=OC,由　　　　定理可得△COD　　　　△COD',所以CD=CD'.
【参考答案】
1.=　=　边角边　≌　=
2.=　=　角角边　≌
通过上面的问题,我们可知角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的　　　　的距离　　　　.
【参考答案】
　两边　相等
如图,OP平分∠AOB,则下列图形能应用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的是 (　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
【参考答案】
B
用尺规作角的平分线
阅读课本第131页“思考·交流”和第132页“例3”的内容,回答下列问题:
1.思考:教材“例3”中,用圆规画弧可得OE　　　　OD,CE　　　　CD,则△OCD与△OCE　　　　(　　).
2.由△OCD与△OCE全等,能否说明OC为∠AOB的平分线呢
　　　　
3.过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线,这两种尺规作图方法有什么共同点,与同伴进行交流.
　　　　
【参考答案】
1.=　=　全等　SSS
2.能.
3.这两个作图方法相同.
　　用尺规作一个角的角平分线时,第二步画弧时要注意半径要大于两交点距离的　　　　.
【参考答案】
　
1.如图,用直尺和圆规在∠AOB内作射线OH,P是射线OH上一点,过点P分别作PE⊥OB于点E,作PF⊥OA于点F.若PE=3,则PF的长为 (　　)
A.1.5 B.3 C.4 D.5
2.如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧,分别交AB,AC于E,F两点;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两条弧相交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC的度数是 (　　)
A.20° B.25° C.30° D.40°
【参考答案】
1.B　2.A
角平分线性质的应用
例1　如图,已知△ABC,求作一点P,使点P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定点P的方法正确的是 (　　)
A.P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点
B.P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC,AB两边上的高的交点
D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点
例2　如图,DE∥BC,BE平分∠ABC,∠C=50°,∠ABC=70°,求∠BED与∠BEC的度数.
　　　　　　　　
　　　　
　　　　
变式训练
1.如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则P到边OA的距离是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,在△ABC中,∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P,若AB∶BC∶AC=3∶2∶1,则△PAB,△PBC,△PAC的面积之比为(　　)
A.1∶2∶3 B.3∶2∶1
C.1∶4∶9 D.9∶4∶1
【参考答案】
例1　B
例2　解:因为BE平分∠ABC,∠ABC=70°,所以∠CBE=∠ABC=×70°=35°.
又因为DE∥BC,所以∠BED=∠CBE=35°.
而∠C=50°,所以∠BEC=180°-∠EBC-∠C=180°-35°-50°=95°.
变式训练
1.B　2.B
运用角平分线性质尺规作图
例3　如图1,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线(如图2).
尺规作图具体步骤如下:
第1步:以点B为圆心,r为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E.
第2步:分别以点D,E为圆心,m为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点F.
第3步:画射线BF.射线BF即所求.
下列说法正确的是 (　　)
A.r有最小限制,m无限制
B.r>0,m>DE的长
C.r>0,mD.连接DE,则DE垂直平分BF
变式训练
如图,∠1=∠2=58°,根据尺规作图痕迹,可得∠ADB的度数是 (　　)
A.58° B.60° C.61° D.122°
【参考答案】
例3　B
变式训练　C