问题解决策略：转化 导学案（含答案） 2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

问题解决策略:转化
【素养目标】
1.能够利用轴对称性质,将线段和的最值问题转化为“两点之间线段最短”问题.
2.能够建立几何模型,将实际问题抽象为数学的最短路径问题.
【重点】
轴对称性质的灵活运用.
【自主预习】
1.回忆三角形三边关系定理的内容.
　　　　
2.回忆线段公理内容.
　　　　
【参考答案】
1.三角形的任意两边之和大于第三边,三角形任意两边之差小于第三边.
2.两点之间线段最短.
1.下列各组数中,能构成三角形的是 (　　)
A.3,8,4 B.11,6,5
C.6,2,3 D.5,10,6
2.已知三角形的两边长分别为3,5,则三角形第三边的长可能是 (　　)
A.2 B.4 C.8 D.10
3.如图,一只电子蚂蚁从正方体的顶点P处沿着表面爬到顶点Q处,电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图(部分)中如实线所示,其中路线最短的是 (　　)
A　　　B
C　　　D
【参考答案】
1.D　2.B　3.C
【合作探究】
建立将军饮马问题的几何模型
阅读课本136-137页中的内容,回答下列问题:
1.在图5-23中,在道路上任取几个点A,B,C,D,用直尺量一量它们到大门、车间的距离,并比较它们到大门、车间距离之和的大小.
2.如图5-24中,你以前遇到过类似的最短距离问题吗 关于“最短”,你有哪些认识
　　　　
3.如图,点B与点B'关于直线l对称,在直线l上任取一点D,连接DB,BB',CB,则DB　　　　DB',CB　　　　CB',理由:　　　　.因为AD+DB'　　　　AB',理由:　　　　;所以AD+DB'>AC+CB',即AD+DB'>AC+CB.
【参考答案】
2.遇到过,“两点之间,线段最短”“垂线段最短”.
3.=　=　轴对称的性质　>　三角形两边之和大于第三边
在数学学习中,常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题.　　　　是解决数学问题的一种重要策略.
【参考答案】
　转化
1.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站,向居民区A,B提供牛奶,要使A,B两小区到送奶站的距离之和最小,则送奶站C的位置应该在 (　　)
A 　B
C 　D
2.如图,在△ABC中,AC=BC,AB=6,CD=4,CD⊥AB于点D,EF垂直平分BC交AB于点E,交BC于点F,P是线段EF上的一个动点,则△PBD的周长的最小值是 (　　)
A.6 B.7 C.10 D.12
【参考答案】
1.C　2.B
例　如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边EF上建一自来水厂向A村与B村供水,若要使水厂到A,B村的水管(同样的料)用料最省,则水厂应建在什么位置
(1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置(保留作图痕迹).
(2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤.
(3)请根据画法证明你的结论.
变式训练
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4,△ABC的面积是16,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点,若D为BC边的中点,M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为 (　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
【参考答案】
例　解:(1)
(2)作点A关于直线EF的对称点A',再连接A'B交EF于点N,点N即所求.
(3)因为点A关于直线EF的对称点是A',
所以A'N=AN,所以A'N+BN=AN+BN=A'B.(两点之间,线段最短)
变式训练　C