2024-2025学年度第二学期学科素养竞赛（一）
八年级数学答案解析
一：选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.下列图形中，是中心对称图形的是()
答案C:根据中心对称图形的定义，绕一个点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形，分析
各选项可知答案选C。
2.下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是()
A.调查一批灯泡的使用寿命
B.调查长江流域水质情况
C.调查江苏电视台某栏目的收视率
D.调查八年级(1)班同学的身高
答案：D。全面调查适用于范围较小、容易掌握、不具有破坏性的调查。A选项调查灯泡使用寿命具
有破坏性；B选项长江流域水质范围广；C选项电视台栏目收视率范围大，均不适合全面调查。八年
级(1)班同学人数较少，适合全面调查。
3.下列事件中，属于随机事件的是()
A.平行四边形的对角相等
B.a2<0
C.明天太阳从西方升起
D.小明买彩票将获得500万元大奖
答案：D。A选项平行四边形对角相等是必然事件；B选项a2≥0，a2<0是不可能事件；C选项太阳
从西方升起是不可能事件；D选项小明买彩票获得500万元大奖是随机事件。
4.若关于x的方程(m-2)xm2-2+x+1=0是一元二次方程，则m的值是()
A.m=3
B.m=2
C.m=-2
D.m=±2
答案：C。因为方程(m-2)xm2-2+x+1=0是-元二次方程，所以m2-2=2且m-2≠0。由
m2-2=2得m=±2，又因为m-2≠0，即m≠2，所以m=-2。
5.为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法
错误的是（
A.总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体
B.其中500名学生是总体的一个样本
C.样本容量是500
D.个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间
5.答案：B。总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体；个体是我市八年级学生中每名学生
每天用于学习的时间：样本是抽取的500名学生每天用于学习的时间：样本容量是500。B选项中
500名学生的学习时间才是总体的一个样本。
6.如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、BC于点F、G,
再分别以点F、G为圆心，大于三FG长为半径作弧，两弧交于点H,作射线BH交AD于点E,连接CE。
若CE⊥DE,AE=10,DE=6,则平行四边形ABCD的面积为()
A.64
B.132
C.128
D.60
答案：C。由作图可知BE平分∠ABC,在平行四边形ABCD中，AD II BC,所以LAEB=∠EBC,则
∠ABE=∠AEB,AB=AE=10。在Rt△CDE中，DE=6,根据勾股定理可得CD=
VDE2+CE2=V62+8z=10,平行四边形ABCD的面积S=CD×CE=10×12.8=128。
7.如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,若AC=12,MN
=2,则AB的长为()
A.4
B.6
C.7
D.8
答案：D。延长BN交AC于点D,因为AN平分∠BAC,BN⊥AN,所以△ABN兰△ADN(ASA),AB=
AD,BN=DN。又因为M是BC中点，所以MN是△BCD的中位线，CD=2MN=4,则AB=
AD=AC-CD=12-4=8。
B.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABC0,B(4,3),点D为x轴上的一个动点，以AD为边在2024-2025学年度第二学期学科素养竞赛（一）
八年级数学
(本试卷分三部分，共27题，满分130分，考试用时120分钟。)
一：选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1.下列图形中，是中心对称图形的是（)
A
B
C
2.下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是()
A.调查一批灯泡的使用寿命
B.调查长江流域水质情况
C.调查江苏电视台某栏目的收视率
D.调查八年级(1)班同学的身高
3.下列事件中，属于随机事件的是（
A.平行四边形的对角相等
B.a2<0
C.明天太阳从西方升起
D.小明买彩票将获得500万元大奖
4.若关于x的方程(m-2)xm2-2+x+1=0是一元二次方程，则m的值是（)
A.m=3
B.m=2
C.m=-2
D.m=±2
5.为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法错
误的是(
A.总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体
B.其中500名学生是总体的一个样本
C.样本容量是500
D.个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间
6.如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、BC于点F、G
再分别以点F、G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H,作射线BH交AD于点E,连接CE。
若CE1DE,AE=10,DE=6,则平行四边形ABCD的面积为（)
A.64
B.132
C.128
D.60
7.如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC,BNLAN于点N,若AC=12,MN
=2,则AB的长为()
A.4
B.6
C.7
D.8
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABC0,B(4,3),点D为x轴上的一个动点，以AD为边在
AD右侧作等边△ADE,连接OE,则OE的最小值为()
A.1
B.1.5
C.2
D.2.4
E
D
二：填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9.已知x=-1是方程x2+mx+1=0的一个根，则m=
10.已知平行四边形ABCD中，∠C=2LB,则∠D=
度。
11.如图，菱形ABCD的边长为10cm,其中对角线AC的长为16cm,则菱形ABCD的面积为cm2。
12.如果a是方程x2-2x-2=0的一个实数根，则2a2-4a-1的值为
13.顺次连接一个矩形各边的中点所得到的四边形是一个
14.平面直角坐标系中，A(1,2),B(2,1),C(5,4),若四边形ABCD为平行四边形，则D点坐标为
15.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD,点G、H分
别是EC、FD的中点，连接GH,则GH的长度为
A
D
H
G
B
F
16.如图，∠P0Q=45°，A、B是∠P0Q的边0P上两定点，0B=6,0A=2,E是边0Q上一动点，
分别以AB、AE为边在OP上方同侧作正方形ABCD、正方形AEFG,则线段BG的最小值为一。
三：解答题（本大题共11小题，共82分)
17.(6分)
(1)解方程：2x2-1=7;
(2)解方程：x2-2x-7=0。
18.(5分)已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一个根为0，求m的值。
19.(5分)定义新运算“ ”：对于实数m,n,p,q,有[m,p] [q,n川=m+pq,其中等式的右边
是通常的加法和乘法运算。例如：[2,3)] [4,5]=2×5+3×4=22。求关于x的方程[x2,x-1]
[3,1]=0的根。2024 - 2025 学年度第二学期学科素养竞赛(一)
八年级数学
(本试卷分三部分，共27 题，满分130 分，考试用时120 分钟。)
一：选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（）
A. 调查一批灯泡的使用寿命 B. 调查长江流域水质情况
C. 调查江苏电视台某栏目的收视率 D. 调查八年级（1）班同学的身高
3. 下列事件中，属于随机事件的是（）
A. 平行四边形的对角相等 B.
C. 明天太阳从西方升起 D. 小明买彩票将获得500 万元大奖
4. 若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是（）
A. B. C. D.
5. 为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500 名学生进行了随机调查，则下列说法错
误的是（）
A. 总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体
B. 其中 500 名学生是总体的一个样本
C. 样本容量是500
D. 个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间
6. 如图，在平行四边形 中，以点 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 、 于点 、 ，
再分别以点 、 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 。
若 ， ， ，则平行四边形 的面积为（）
A. 64 B. 132 C. 128 D. 60
7. 如图，在△ABC 中，点M 是 BC 边上的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点 N，若AC = 12，MN
= 2，则 AB 的长为（）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
8. 如图，在平面直角坐标系 中，已知矩形 ， ，点 为 轴上的一个动点，以 为边
在 右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.4
二：填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分）
9. 已知 是方程 的一个根，则 __________ 。
10. 已知平行四边形 中， ，则 =___________度。
11. 如图，菱形 的边长为10cm，其中对角线 的长为 16cm，则菱形 的面积为____ 。
12. 如果 是方程 的一个实数根，则 的值为_________ 。
13. 顺次连接一个矩形各边的中点所得到的四边形是一个___________ 。
14. 平面直角坐标系中， ，若四边形 为平行四边形，则 点坐标为
_____________ 。
15. 如图，在边长为2 的正方形 中，点 分别是边 的中点，连接 ，点 分别
是 的中点，连接 ，则 的长度为___________ 。
16. 如图， ， 是 的边 上两定点， ， 是边 上一动点，
分别以 为边在 上方同侧作正方形 、正方形 ，则线段 的最小值为____ 。
三：解答题（本大题共11 小题，共82 分）
17. （6 分）
（1）解方程： ；（ 2）解方程： 。
18. （5 分）已知关于 的一元二次方程 有一个根为 ，求 的值。
19. （5 分）定义新运算“ ”：对于实数 ，有 ，其中等式的右
边是通常的加法和乘法运算。例如： 。求关于 的方程
的根。
20.（6 分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1 个单位长度，△ABC 的顶点均在格点
上.
（1）画出将△ABC 关于原点O 的中心对称图形△A B C ；
（2）将△DEF 绕点 E 逆时针旋转90°得到△D EF ，画出△D EF ；
（3）若△DEF 由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________.
21.（8 分）某中学对全校八年级学生进行体育测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行
分析，设测试成绩为 分，将成绩分为 四个等级，A 级： ；B 级：
；C 级： ；D 级： ，根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请
根据统计图，解答下列问题：
（1）这次调查中共抽查的学生人数为_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）“D 级”部分的扇形圆心角度数为_______；
（4）若该校七年级学生有300 人，请你估计此次测试中，达到“A 级”的学生约有多少人？
22.（8 分）如图所示，在菱形 中，两条对角线相交于点 ， 是边 的中点，连接 并延长到
，使 = ，连接 、 .
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）求证： .
23.（8 分）已知：如图，在四边形ABFC 中，∠ACB = 90°，BC 的垂直平分线EF 交 BC 于点 D，交
AB 于点 E，且 CF = AE。
（1）求证：四边形BECF 是菱形；
（2）当∠A 的大小为多少度时，四边形BECF 是正方形？
24.（8 分）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD，E 为 AD 的中点，延长BE 与 CD 的延长线交于
点 F，连接 AF。
（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；
（2）若∠BDF = 90°，AD = 10，DF = 6，求四边形BCDE 的面积。
25.（8 分）如图①，在平行四边形ABCD 中，AB = 3，AD = 6，动点 P 沿 AD 边以每秒1/2 个单位长
度的速度从点A 向终点 D 运动．设点P 运动的时间为t (t>0)秒。
（1）线段 PD 的长为_____（用含 t 的代数式表示）；
（2）当 CP 平分∠BCD 时，求 t 的值。
（3）如图②，另一动点Q 以每秒2 个单位长度的速度从点C 出发，在CB 上往返运动．P、Q 两点同
时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．若以P、D、Q、B 为顶点的四边形是中心对称图
形，求此时t 的值。
26.（10 分）将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，OA、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，
点 B 坐标为（4，10）。
① 如图①，将矩形纸片OABC 折叠，使点B 落在 y 轴上的点D 处，折痕为线段AE，求点 D 坐标；
②如图②，点 E、F 分别在 OC、AB 边上，将矩形纸片OABC 沿线段 EF 折叠，使得B 与点 D（0，
2）重合，求EF 的长；
③ 在②的条件下，若点P 是坐标系内任意一点，点Q 在 y 轴上，使以点D、F、P、Q 为顶点的四边
形是菱形，请直接写出满足条件的点Q 的坐标。
27.（10 分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形。请解决下
列问题：（1）已知：如图1，四边形ABCD 是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A = 70°，∠B = 75°，则∠
C = ____ °，∠D = ____ °。
（2）在探究等对角四边形性质时：小红画了一个如图2 所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC =
∠ADC，AB = AD，此时她发现CB = CD 成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为 4×4 的正方形网格，线段AB、BC 的端点均在网点上。按要求在图①、图②中
以 AB 和 BC 为边各画一个等对角四边形ABCD.要求：四边形ABCD 的顶点D 在格点上，所画的两个
四边形不全等。
（4）已知：在等对角四边形ABCD 中，∠DAB = 60°，∠ABC = 90°，AB = 5，AD = 4，求对角线AC
的长。2024 - 2025学年度第二学期学科素养竞赛(一)
八年级数学答案解析
一：选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.下列图形中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
答案C：根据中心对称图形的定义，绕一个点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形，分析
各选项可知答案选C。
2.下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（）
A.调查一批灯泡的使用寿命B.调查长江流域水质情况
C.调查江苏电视台某栏目的收视率D.调查八年级（1）班同学的身高
答案：D。全面调查适用于范围较小、容易掌握、不具有破坏性的调查。A选项调查灯泡使用寿命具有
破坏性；B选项长江流域水质范围广；C选项电视台栏目收视率范围大，均不适合全面调查。八年级（1）
班同学人数较少，适合全面调查。
3.下列事件中，属于随机事件的是（）
A.平行四边形的对角相等B.
C.明天太阳从西方升起D.小明买彩票将获得500万元大奖
答案：D。A选项平行四边形对角相等是必然事件；B选项 是不可能事件；C选项太阳从
西方升起是不可能事件；D选项小明买彩票获得500万元大奖是随机事件。
4.若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是（）
A. B. C. D.
答案：C。因为方程 是一元二次方程，所以 且 。由
得 ，又因为 ，即 ，所以 。
5.为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法错
误的是（）
A.总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体
B.其中500名学生是总体的一个样本
C.样本容量是500
D.个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间
5.答案：B。总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体；个体是我市八年级学生中每名学生
每天用于学习的时间；样本是抽取的500名学生每天用于学习的时间；样本容量是500。B选项中500
名学生的学习时间才是总体的一个样本。
6.如图，在平行四边形 中，以点 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 、 于点 、 ，
再分别以点 、 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 。
若 ， ， ，则平行四边形 的面积为（）
A. 64 B. 132 C. 128 D. 60
答案：C。由作图可知 平分 ，在平行四边形 中， ，所以 ，则
， 。在 中， ，根据勾股定理可得
，平行四边形 的面积 。
7.如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC = 12，MN =
2，则AB的长为（）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
答案：D。延长 交 于点 ，因为 平分 ， ，所以 ，
。又因为 是 中点，所以 是 的中位线， ，则
。
8.如图，在平面直角坐标系 中，已知矩形 ， ，点 为 轴上的一个动点，以 为边
在 右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.4
答案：B。以 为边作等边 ，连接 。易证 ，则
。则点E的轨迹为与AF垂直的直线上，故当 时， 最小，即
图中的点 为 最小时，点 的位置。 ，
在 中， 。
二：填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9.已知 是方程 的一个根，则 __________。
答案：把 代入方程 ，得 ，解得 。
10.已知平行四边形 中， ，则 = ___________度。
答案：在平行四边形ABCD中， ，又因为 ，所以 ，
则 。
11.如图，菱形 的边长为10cm，其中对角线 的长为16cm，则菱形 的面积为____ 。
答案：菱形对角线互相垂直平分，对角线 ，则 ，边长为 ，根据勾股定
理可得 ，所以 ，菱形面积 。
12.如果 是方程 的一个实数根，则 的值为_________。
答案：因为 是方程 的根，所以 ，即 ，那么
。
13.顺次连接一个矩形各边的中点所得到的四边形是一个___________。
答案：顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。利用三角形中位线定理，新四边形的各边都等于
矩形对角线的一半，而矩形对角线相等，所以新四边形四条边相等，是菱形。
14.平面直角坐标系中， ，若四边形 为平行四边形，则 点坐标为
_____________ 。
答案：设 ，因为四边形 是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分， 中点与
中点重合。 ，则 中点坐标为 ， ，所以 ，
，解得 ，D点坐标为 。
15.如图，在边长为2的正方形 中，点 分别是边 的中点，连接 ，点 分别
是 的中点，连接 ，则 的长度为___________。
答案：连接 。 分别是 中点，在 和 中，利用
中位线定理可得 ， ，所以 。
16.如图， ， 是 的边 上两定点， ， 是边 上一动点，
分别以 为边在 上方同侧作正方形 、正方形 ，则线段 的最小值为____。
答案：过点A作AM⊥OQ于点M，把AM绕着点A旋转90度，得到AH，过点H过HG⊥AH于点H，
则直线HG即为点G的运动轨迹，当BG⊥HG时，BG最小。∠O=45°，则易得三角形OAM，三角形
AHN和三角形BNG是相互全等的等腰直角三角形，BG= 。
三：解答题（本大题共11小题，共82分）
17.（6分）
（1）解方程： ；（2）解方程： 。
1）解方程 ，移项得 ，两边同时除以 得 ，解得 。
（2）解方程 ，根据求根公式 ，其中 ，
。
18.（5分）已知关于 的一元二次方程 有一个根为 ，求 的值。
把 代入方程 ，得 ， ，所以 或 。
又因为方程是一元二次方程，二次项系数 ，所以 。
19.（5分）定义新运算“ ”：对于实数 ，有 ，其中等式的右
边是通常的加法和乘法运算。例如： 。求关于 的方程
的根。
根据新运算定义， ，即 。根据求根公式，
。
20.（6分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点
上.
（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A B C ；
（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D EF ，画出△D EF ；
（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________.
答案：
（1）分别找出 关于原点 对称的点 ，连接各点得到 。
（2）根据旋转性质，确定 绕点 逆时针旋转 后的对应点 ，连接各点得到 。
（3）连接 ，其交点坐标即为旋转中心，坐标为（0，1）。
21.（8分）某中学对全校八年级学生进行体育测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行
分析，设测试成绩为 分，将成绩分为 四个等级，A级： ；B级：
；C级： ；D级： ，根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请
根据统计图，解答下列问题：
（1）这次调查中共抽查的学生人数为_______；
（2）请补全条形统计图；
（3）“D级”部分的扇形圆心角度数为_______；
（4）若该校七年级学生有300人，请你估计此次测试中，达到“A级”的学生约有多少人？
（1）从扇形统计图知B级占 ，从条形统计图知B级有23人，所以抽查学生人数为
人。
（2）D人数为 人，补全条形统计图。
（4）该校八年级学生有300人，达到“A级”的学生约有 人。
22.（8分）如图所示，在菱形 中，两条对角线相交于点 ， 是边 的中点，连接 并延长到
，使 = ，连接 、 .
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）求证： .
（1）在菱形 中， ，因为 是 中点， ，所以四边形 是平行四边形。
又因为菱形对角线互相垂直， ，所以平行四边形 是矩形。
（2）因为四边形 是矩形，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 。
23.（8分）已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB = 90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB
于点E，且CF = AE。
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？
（1）因为 是 的垂直平分线，所以 。又因为
， 为 中点，所以 为 中点， ，又因为 ，所以
，四边形 是菱形。
（2）当 时， ，菱形 中 ，所以 ，四边形
是正方形。
24.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点
F，连接AF。
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若∠BDF = 90°，AD = 10，DF = 6，求四边形BCDE的面积。
（1）在平行四边形 中， ，所以 ， 。因为 为 中点，
，所以 ，又因为 ，所以四边形 是平行
四边形。
（2）因为 ，四边形 是平行四边形，所以四边形 是矩形， 。在
。平行四边形ABCD的面积
的面积
，四边形 的面积为
。
25.（8分）如图①，在平行四边形ABCD中，AB= 3，AD = 6，动点P沿AD边以每秒1/2个单位长
度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t (t>0)秒。
（1）线段PD的长为_____（用含t的代数式表示）；
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值。
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同
时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是中心对称图
形，求此时t的值。
（1） 点速度为每秒 个单位长度，运动时间为 秒， ，则 。
（2）在平行四边形 中， ， 平分 ，所以 ，
，即 ，解得 。
（3）因为 同时出发， 运动到 点用时 秒。设运动时间为 秒，当 时，
，因为以 为顶点的四边形是中心对称图形，所以 ，即
，解得 ；当 时， ，
解得 ；当 时， ，解得 ；当
时， ，解得 （舍去）。综上，
的值为 或 .
26.（10分）将一个矩形纸片O ABC放置在平面直角坐标系中，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，
点B坐标为（4，10）。
（1）如图①，将矩形纸片O ABC折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段AE，求点D坐标；
（2）如图②，点E、F分别在OC、AB边上，将矩形纸片O ABC沿线段EF折叠，使得B与点D（0，
2）重合，求EF的长；
（3）在②的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D、F、P、Q为顶点的四
边形是菱形，请直接写出满足条件的点Q的坐标。
①解析：
已知矩形 ，则 。由折叠可知 ，在 中，
，根据勾股定理 ，所以点 的坐标
为 。
②解析：
连接 交 于点 ，因为 与 关于 对称，所以 垂直平分 。
先求 中点 坐标， ，根据中点坐标公式可得 点坐标为
。
，因为 ，所以 。设直线 的方程为 ，把 代
入可得 ，解得 ，即 。
令 ，得 ，所以 ；令 ，得 ，解得 （舍去），令
，得 （舍去），因为在 上， 方程 ，把 代入
得 （舍去），由在 上， ，设 ，把 代入
得
，即 。根据两点间距离公式 。
③答案： 。
27.（10分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形。请解决下
列问题：（1）已知：如图1，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A= 70°，∠B= 75°，则∠
C = ____ °，∠D = ____ °。
（2）在探究等对角四边形性质时：小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD，其中，∠ABC =
∠ADC，AB= AD，此时她发现CB= CD成立，请你证明该结论；
（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在网点上。按要求在图①、图②中
以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD.要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，所画的两个四
边形不全等。
（4）已知：在等对角四边形ABCD中，∠DAB = 60°，∠ABC = 90°，AB= 5，AD = 4，求对角线AC
的长。
（1）解析：
因为四边形内角和为 ，在等对角四边形 中， ，所以
，则 。
（2）解析：
连接 ，因为 ，所以 。又因为 ，所以
，即 ，根据等角对等边可得CB= CD。
（3）解析：
按照要求在网格中找出满足条件的点D，构造出两个不全等的等对角四边形即可,如图所示。
（4）解析：
分两种情况：
情况一：当 时，延长 交于点 。因为
，所以 ，则
。在 中，
，根据勾股定理
。
情况二：当 时，过 作 于 ， 于 。在 中，
，则 。因为
，所以四边形 是矩形， 。
在 中， ，根据勾股定理
。
