2024-2025学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期第一次月考（3月）数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期第一次月考（3月）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若平面的一个法向量为=(0,1,1),平面的一个法向量为=(,2,0),则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数y=8x,则y'=（ ）
A. -88x B. 88x C. -88x D. 8x
3.设数列{}满足=,=,则=（ ）
A. 3 B. 9 C. -3 D. -9
4.已知火箭发射t秒后,其高度(单位:米)为h(t)=,则火箭发射后第5秒时,火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A. m/s B. 9m/s C. m/s D. 18m/s
5.设O为坐标原点,F为抛物线C:=8x的焦点,点A在抛物线C上.若|AF|=5,则|OA|=（ ）
A. 6 B. 9 C. 3 D.
6.已知经过点P(-1,0)且倾斜角为的直线 与圆C:+-6x+m=0相离,则m的取值范围为（ ）
A. (-1,9) B. (-,9) C. (1,9) D. (1,+)
7.已知函数f(x)=-在(0,+)上单调递增,则a的取值范围为（ ）
A. (-,-] B. (-,] C. (-,] D. [,+)
8.直线x=m(m>0)与椭圆C:+=1交于A,B两点,直线x=-m与椭圆C交于E,F两点,点A,E在x轴上方.将四边形AEFB绕y轴旋转,得到几何体,则几何体的体积的最大值为（ ）
A. 4 B. C. 12 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=-+mx+n的极大值点为1,极大值为5,则（ ）
A. mn=9 B. f(x)有3个零点
C. =-6 D. f(x)在(3,+)上单调递增
10.在数列{}中,=-,=2,=8,是数列{}的前n项和,则（ ）
A. 数列{-}是等比数列 B. 数列{}是等差数列
C. ++++=2044 D. <22
11.已知正方体ABCD-的棱长为2,且=,=t,,t(0,1),则（ ）
A. 当+t=1时,NM
B. 当=t时,AC平面MN
C. 当2+2t=1时,BMN面积的最小值为
D. 当2t+2=1时,M+N的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=+3在点(-1,2)处的切线方程是 .
13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是,,过点的直线与椭圆C交于A,B两点.若=0,且|=|AB|,则椭圆C的离心率为 .
14.如图,在Rt中,O,=7,=1.点满足=,以为直角边向的外部作Rt,其中=.点满足=,以为直角边向的外部作Rt,其中=.依此方法一直继续下去,设Rt的面积为, Rt的面积为,Rt的面积为,, Rt(n2)的面积为.设数列{}的前n项和为,则= ;若对任意n,-6t恒成立,则t的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在等差数列{}中,=1,=36.
(1)求{}的通项公式;
(2)若,,成等比数列,求m的值;
(3)设=,求数列{}的前n项和.
16.(本小题12分)
如图,在空间几何体ABCDPH中,PA平面ABCD,ADBC,PAHB.ADC=,CD=AD=PA=HB=BC,E,F分别为AH,BC的中点.
(1)证明:EF平面PCD.
(2)求直线HF与平面PHC所成角的正弦值.
17.(本小题12分)
已知P为双曲线C:-=1(a>0)的左顶点,为双曲线C的右焦点,|=2+.斜率不为零的直线过点E(-1,0),且与双曲线C交于A,B两点.设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)试问是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
18.(本小题12分)
设数列{}满足++++=.
(1)求{}的通项公式.
(2)(ⅰ)求{}的前n项和;
(ⅱ)证明:>+n.
19.(本小题12分)
若连续函数F(x)的极值点a,b(a< b)是函数T(x)的零点,T'(x)为函数T(x)的导函数,且存在实数t满足T'(),则称F(x)是T(x)的强化原生函数,记t的最大值为,则为T(x)的强化原生系数.已知函数f(x)=2x-x.
(1)设函数h(x)=-f(x+3),证明h(x)有唯一极值点,并求出满足(k,k+1)的整数k的值.
(2)设函数G(x)=f(x)+-(m-1)x(m4),函数g(x)=f(x)-4-(n-1)x.已知G(x)是g(x)的强化原生函数.
(ⅰ)证明:n-6.
(ⅱ)求g(x)的强化原生系数的最小值.
答案
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】3x-y+5=0
13.【答案】
14.【答案】 ；
15.【答案】解:(1)设数列{}的公差为d,由题意得d===7,
所以的通项公式为=1+(n-1)7=7n-6.
(2)依题意得=,
则7m-6=,得m=10.
(3)由=7n-6,得=(-),
则=(-+-++-)=(1-)=.
16.【答案】(1)证明:由PA平面ABCD,PAHB,PA=HB,易得四边形ABHP是矩形.
连接BP,则E为BP的中点,
因为F为BC的中点,所以EF为CPB的中位线,所以EFPC.
因为EF 平面PCD,PC平面PCD,所以EF平面PCD.
(2)解:连接AF.因为F为BC的中点,AD=BC,所以FC=AD.
因为ADBC,ADC=,
所以四边形AFCD为矩形,所以ADAF,则以A为坐标原点,AF,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
设AD=1,由题意可得P(0,0,1),F(1,0,0),H(1,-1,1),C(1,1,0),
则=(1,-1,0),=(1,1,-1),=(0,1,-1).
设平面PHC的法向量为=(x,y,z),
由取=(1,1,2).
设直线HF与平面PHC所成的角为,
则=|<,>|===,
所以直线HF与平面PHC所成角的正弦值为.

17.解:(1)根据题意可得=2+,解得a=2,
故双曲线C的标准方程为-=1.
(2)是定值.
证明如下:设A(,),B(,).因为直线l过点E(-1,0),所以直线l的斜率存在.
设直线,由|,得(-4)-2my-3=0,
由题意得=+12(-4)>0且-40,得>3,m2,
+=,=.
因为P为双曲线C的左顶点,所以P(-2,0),=,=,
所以===
==,
故是定值,该定值为.
18.【答案】解:(1)当n=1时,=2,得=6.
当n2时,由++++=,
得++++=,
两式相减,得=-=n+1,
得=(n+1),
当n=1时,=6满足=(n+1),
所以数列{}的通项公式为=(n+1).
(2)(i)解:由题意得=2+3+4++(n+1),
则= 2+3+4++(n+1),
所以-=6++++-(n+1)=6+-(n+1)=-,
所以=.
(ii)证明:由(i)可得=n+1,则=(n+1),
要证>+n,即证>.
设函数f(x)=(1+x)-,x(0,+),则f'(x)=-=>0,
所以f(x)在(0,+)上单调递增,则f(x)>f(0)=0,
即当x>0时,(1+x)>,
令x=,则(1+)>,即>,故>+n.
19.【答案】解：(1)证明:依题意得h(x)=-2(x+3)+x+3,x(-3,+),则h'(x)=-+1.
设函数(x)=-+1,则'(x)=+>0,所以(x)在(-3,+)上单调递增,即h'(x) 在(-3, +) 上单调递增.
因为h'(-2)=-2+1<0,h'(-1)=-1+1>0,
所以h'(x)存在唯一零点(-2,-1),使得h'()=0.
当x(-3,)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x(,+)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)有唯一极值点,且(-2,-1),
故满足(k,k+1)的整数k的值为-2.
(2)(i)证明:依题意得G(x)=2x+-mx,G'(x)=+2x-m=.
令G'(x)=0,得-mx+2=0,=-16>0,易得G(x)有两个极值点.
设G(x)的极值点是,(<),则+=,=1,所以-=-.
因为,是函数g(x)=2x--nx的零点,所以,是关于x的方程2x--nx=0的两个解,即2--=0,2--=0,
两式相加,得2+2----=0,整理得n=-2m.
因为函数y=-2x在[4,+)上单调递减,所以y=-2x-24=-6,故n-6.
(ii)解:设g'(),则(-)g'().
因为g'(x)=-8x-n,所以g'()=-4(+)-n=-2m-n,
则(-)g'()=-(-2m-n)=-(-2m-+2m)==4.
所以4,则g(x)的强化原生系数为4.
因为函数y=4在[4,+)上单调递增,所以当m=4时,y=4有最小值,=4=2,
即g(x)的强化原生系数的最小值为2.
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