高二数学
（试卷满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线的求法，属于基础题．
3. 若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. “”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
6. 正四面体中，为中点，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
7. 给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种
8. 已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
9. 如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法中不正确的是（ ）
A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 对于任意点，三棱锥体积为定值 D. 对于任意点，都不是锐角三角形
10. 在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（ ）
A. 拋物线的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 以上都不对
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 展开式的常数项是__________．（用数字作答）
12. 已知抛物线的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则____________．
13. 圆截直线所得弦长为2，则______.
14. 已知两点.点满足，则的面积是______.
15. 已知曲线.给出下列四个结论：
①曲线是轴对称图形：
②曲线上恰好有4个整点（即横，纵坐标均是整数的点）；
③曲线上存在一点，使得到点的距离小于1；
④曲线所围成区域的面积大于4.
其中，所有正确结论的序号为______.
三、解答题（本大题共6小题，共85分.）
16. 如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，求直线与平面所成角正弦值.
17. 已知拋物线经过点.
（1）求的值和拋物线的准线方程；
（2）经过点的直线与拋物线交于两点，为坐标原点.求的大小.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面为棱的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
19. 已知椭圆的左焦点为，且经过点.分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆上（与点不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点.
（1）求椭圆的短轴长和离心率；
（2）若线段的中点为，求点坐标.
20. 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.
21. 对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”.
（1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由；
（2）若集合，证明：C不可能是“好集合”；
（3）若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值.1. D.
2. B
3. A.
4. A.
5. D
6. C
7. C
8. C
9. AD
10. B.
11. 24
12.
13. .
14..
15. ①②④
16.（1）
因为 ，平面平面，
所以平面，
又平行四边形中，, 平面平面，
所以平面，
又,平面,所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）因为平面
所以两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系.
记平面一个法向量为
故，取
故，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17.（1）
由题知，，解得，
所以抛物线方程为，其准线方程为.
（2）设，如图，
当直线斜率不存在时，方程为，
则代入，求得，
所以和是等腰直角三角形，
所以；
当直线斜率存在时，
设直线方程为，，
则联立，得，
所以，，
且，
又，
所以，
综上，.
18. （1）
证明：因为平面平面，
平面平面，
，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知平面，底面为正方形，
所以分别以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为：，
，，令，，，
所以，
由于平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（3）由（2）可知平面的一个法向量为：，而，
所以点到平面的距离为.
19. （1）因为椭圆的左焦点，所以，即，
因为经过点，所以，
联立，解得，
所以椭圆的短轴长，离心率.
（2）
由（1）知，椭圆方程为，所以，
因为与点不重合，所以，
所以直线的斜率，直线，
过点且与轴垂直的直线方程为，
联立得，所以，
同理直线，
因为的中点是点，由中点坐标公式得，解得，
因为点在椭圆上，所以，解得，
所以点的坐标为或.
20. （1）
已知，，，
则的面积，解得.
因为离心率，，所以.
又因为，，，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）将直线与椭圆联立得.
根据韦达定理，，.
计算，
从而得到线段中点坐标为.
然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为，
根据点斜式可得垂直平分线方程为，
进而得到点.
最后根据四边形为正方形时：
则
展开得
进一步化简为
将，代入得，，
整理得，解得.
21.（1）因为，因为，所以集合A不是“好集合”，
因为，，，，，，，
所以集合B是“好集合”.
（2）证明：将集合中的元素分为如下10个集合，
，，，，，，，，，，
所以从集合中取12个元素，则前8个集合至少要选10个元素，
所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合，
即存在两个元素的差的绝对值不大于2，
所以C不可能是“好集合”.
（3）因为D是“好集合”，所以对于D中的任意两个不同的元素x，y，
不妨设，都有.
要想D所含元素个数最大，则要尽可能小，
故需使得的最小值为3.
将1~2026这2026个元素按如下分组：
，，……，，，
故应取，其中任意两元素差值都大于2，故其是“好集合”，
故“好集合”D所含元素个数的最大值为.
