甘肃省武威市第八中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）

2025年春学期高二年级开校考试试卷
数学
(满分150分，考试时间120分钟)
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1 函数有（ ）
A. 极小值0，极大值2 B. 极小值，极大值4
C. 极小值，极大值3 D. 极小值2，极大值3
2. 若直线l的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，且直线l经过点，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知点到抛物线的准线的距离为3，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 过点作圆的切线，则切线的斜率为（ ）
A. 或 B. C. 或 D.
5. 在数列中，若，则（ ）
A. B. 3 C. D. 1
6. 当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共7项 B. 所有项的系数之和为2187
C. 项系数为280 D. 所有项的二项式系数之和为128
10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A. 的坐标为 B.
C. D.
11. 已知数列，满足，为的前n项和，且，则（ ）
A. B.
C. 是等差数列 D. 取得最大值16
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 曲线在点处的切线方程是 __________．
13. 某高校运动会设有7个大项.该校校委欲招募一批志愿者，甲 乙2名大学生申请报名时，计划每人从7个大项中随机选取3个大项做服务工作，则2人恰好选中相同的2个大项的不同报名情况有___________种.
14. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为_____________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.
15. 随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是问卷调查得分的频率分布表：
成绩（分）
频率
将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．
（1）根据已知条件完成下面列联表；
男 女 合计
了解
不了解
合计
（2）判断是否有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16. 记为正数数列的前n项的和，已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前n项之和.
17. 第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答）
（1）若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？
（2）若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？
18. 已知平面内点与两个定点的距离之比等于2.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：对任意的.
答案
1-8. DCBACCCD
9.BCD
10.BD
11.ABC
12.
13.
14.##
15. （1）问卷调查结果为“了解”的学生人数为，
又因为其中男生有人，所以其中女生有人，
所以列联表如下：
男 女 合计
了解 50 35 85
不了解 50 65 115
合计 100 100 200
（2）零假设：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，
由（1）可得，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于，
即有的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.
16. （1）因为，
所以令，得，即，
所以或，因为数列是正数数列，所以；
当时，由，
则，
两式相减，
即，
整理得，
因为，
所以，
所以，即
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
其前n项和为，
所以数列的前n项之和为.
17. （1）由题意知可去名裁判，
所以共有（种）不同的安排方法.
（2）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下：
①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法；
②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法；
③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法.
综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，
共有（种）不同的安排方法.
18.（1）已知，
由题意可知，，坐标代入得，
整理得，
故点的轨迹方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，
由圆，则圆心为，半径为，
此时弦长为，满足题意；
当直线的斜率存在时，不妨设斜率为，
则直线的方程为，
即，
则圆心到直线的距离.
因为直线被所截得的线段的长为，
所以，则，
所以，解得，
所以直线的方程为.
综上，满足条件的直线的方程为或.
19. （1）
由题可知函数的定义域为
令得或（舍去）
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以，在上单调递减，上单调递增.
（2），
要证明，只用证明，
令，
设，，即单调递增，
，，
可得函数有唯一的零点且，满足，
当变化时，与的变化情况如下，
0
单调递减 极小值 单调递增
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
所以，对成立.