甘肃省张掖市肃南裕固族自治县2024-2025学年高二下学期开学摸底考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省张掖市肃南裕县高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在区间上的平均变化率等于( )
A. 4 B. C. D. 4x
2.下列求导运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
3.在正项等比数列中，已知，，则( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4.已知在R上可导的函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.把一个周长为12的长方形围成一个圆柱，当该圆柱的体积最大时，圆柱底面半径为( )
A. B. 1 C. D.
6.若对任意的，，且，都有，则实数m的最小值是( )
A. B. C. e D.
7.若函数的图象与函数的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
8.设，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，若在区间上单调递减，则a可以取到的整数值有( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则( )
A. 与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
B. 仅存在一条直线l，使
C. 若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是
D. 若直线l斜率为1，则弦AB的中点坐标为
11.已知函数的定义域是R，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 当时，
12.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上存在极大值
B. 为函数的导函数，若方程有两个不同实根，则实数m的取值范围是
C. 若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的单调递增区间是________.
14.已知函数在处取得极小值0，则______.
15.已知函数，，，，使不等式成立，则实数a的取值范围是______.
16.若函数只有一个极值点，则k的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
已知曲线，求：
曲线在点处的切线方程；
曲线过点的切线方程.
18.本小题12分
已知正项数列，满足
求；
若，求数列的前n项和
19.本小题12分
已知函数
讨论函数的单调性；
求函数在区间上的最小值.
20.本小题12分
在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
求动点P的轨迹方程G；
过点A作两条斜率为，的直线分别交曲线G于M，异于A，两点，且，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标.
21.本小题12分
设函数，其中a为实数.
当时，证明：；
当在定义域内有两个不同的极值点，时，证明：
22.本小题12分
已知函数
当时，求的极值；
设，不等式对恒成立，求整数a的最大值；
当时，不等式对恒成立，求m的取值范围.
答案
1.B
2.D
3.B
4.B
5.C
6.B
7.D
8.A
9.AB
10.ACD
11.BC
12.BCD
13.
14.1
15.
16.
17.解：由于，从而点是切点，
又，所以，
从而曲线在点处的切线方程为，即
由，从而点不是切点，
设切点为，显然，
一方面，另一方面，
联立以上两式可得，所以或，也就是或，
又，，，，
所以曲线过点的切线方程为或，
也就是或
18.解：由，可得，，
两式相减得，又，
，即，，又，解得，
数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，
由，可得，

19.解：由，，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，有，，，，即在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由，当时，函数在上单调递减，，
当，即时，函数在上单调递减，，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，，当时，
20.解：根据题意，，，
设点，可得，，化简得
所以动点P的轨迹方程G为
证明：设直线MN的方程为，，，
联立，化简整理得，
则，且，，
因为，所以，
化简得，
则，
整理得，解得或，
因为直线MN不过点，所以舍去，可得，
因此直线，可知直线MN过定点

21.证明：当时，，
要证，即证，令，，
所以，当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即成立．
，由在上有两个不同的极值点，，
所以方程，即有两个不同的正根，
则，解得，
又
，
令，
则，所以在上单调递增，
所以，
所以
22.解：当时，，易知，又，
所以当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数在处取到极大值，无极小值．
因为，由，
得到，所以不等式对恒成立，
即对恒成立，整理得到对恒成立，
令，则，
令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
又，，由零点存在性原理知，，使，
所以当时，，得到时，，
当时，，得到时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，又，
所以整数a的最大值为
当时，由不等式，得到，
整理得到对恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，
令，则，，所以方程必有解，
所以当且仅当时，有最小值，且最小值为2，
所以实数m的取值范围为